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二次曲線

楕円と双曲線の定義

22 定点(焦点)からの距離の和が一定なら楕円、差が一定なら双曲線。和・差・等しい(放物線)で二次曲線がそろう。

主張

平面に 22 つの定点 F1,F2F_1,F_2(焦点)をとるよ。この 22 点からの距離の和 PF1+PF2PF_1+PF_2 が一定の値になる点 PP の集まり(軌跡)が楕円。距離の差 ∣PF1−PF2∣|PF_1-PF_2| が一定の値になる点の集まりが双曲線(左右 22 本の枝)だ。仲間の放物線は「11 つの焦点と 11 本の準線からの距離が等しい」点の集まりで、和・差・等しいの 33 パターンが二次曲線の正体。和が一定の値 2a2a は楕円の長軸の長さ、差が一定の値 2a2a は双曲線の頂点どうしの間隔になるよ。

楕円 x2a2+y2b2=1双曲線 x2a2−y2b2=1\text{楕円}\ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\quad\text{双曲線}\ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1
F₁F₂P
22 つの焦点 F1,F2F_1,F_2 からの距離の和(赤+緑)がいつも等しい点 PP を集めると、楕円になる。

成り立つ条件

F1≠F2F_1\ne F_2。楕円になるのは「和 2a2a >> 焦点間の距離 F1F2F_1F_2」のとき(和が焦点間より短いと点はできない)。双曲線になるのは「0<0< 差 2a<F1F22a<F_1F_2」のとき。焦点間の距離を 2c2c とすると、楕円は b2=a2−c2b^2=a^2-c^2、双曲線は b2=c2−a2b^2=c^2-a^2 で半径 bb が決まる(a>ca>c なら楕円、a<ca<c なら双曲線)。

証明(なぜ成り立つ?)

焦点 F1F_1 を中心とする半径 2a2a の補助円を使うと、「和が一定」が一目で出る。垂直二等分線で PF2=PDPF_2=PD に置きかえるのがコツ。

  1. 1

    焦点 F1F_1 を中心に半径 2a2a の補助円をかき、その円周上の点を DD とする。F1DF_1D は半径だから、DD がどこにあっても F1D=2aF_1D=2a で一定だね。

  2. 2

    線分 F2DF_2D の垂直二等分線 ℓ\ell を引く。ℓ\ell 上の点は F2F_2 と DD から等距離だから、ℓ\ell と直線 F1DF_1D の交点を PP とすると PF2=PDPF_2=PD になる。

  3. 3

    すると PP から 22 焦点までの距離の和は、PF2PF_2 を PDPD に置きかえられるぶん、いつも 2a2a で一定になる。DD を円周にそって動かしても和は変わらない。だから PP の軌跡は「和が一定」の楕円だ。

    PF1+PF2=PF1+PD=F1D=2aPF_1+PF_2=PF_1+PD=F_1D=2a
  4. 4

    補助円の半径を焦点間の距離より小さく(2a<F1F22a<F_1F_2)とると、PP は外分側にできて ∣PF1−PF2∣=2a|PF_1-PF_2|=2a が一定になる。これが双曲線だね。標準形の式は、距離の条件 (x+c)2+y2±(x−c)2+y2=2a\sqrt{(x+c)^2+y^2}\pm\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a を 22 乗して整理すると出てくるよ。

逆

逆に楕円・双曲線の上の点はどれも、その定義の和・差をぴったり満たす(軌跡=ちょうどその曲線で過不足なし)。和の値 2a2a がいくつかで「どの楕円か」が決まり、焦点間 F1F2F_1F_2 を広げて和 2a2a に近づけるほど細長く、F1F2→0F_1F_2\to0 で円に近づくよ。

補足・つまずきポイント

放物線=焦点と準線が等距離、楕円=和一定、双曲線=差一定、と 33 兄弟を距離の条件でそろえて覚えるとよい。離心率 ee を使うとさらに統一でき、e<1e<1 で楕円・e=1e=1 で放物線・e>1e>1 で双曲線になる。「楕円は閉じた 11 本、双曲線は開いた 22 本」の見た目の違いは、和と差の違いから出ているんだ。

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