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図形と方程式

円の方程式

中心 (a,b)(a,b)・半径 rr の円は (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。これは三平方の定理そのもの。

主張

中心が C(a,b)C(a,b)、半径が rr の円は、(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 を満たす点 (x,y)(x,y) の集まりだよ。円はもともと「中心からの距離がいつも一定(=r=r)の点の集まり」。それを座標で書いただけなんだ。中心 (a,b)(a,b) と円周上の点 (x,y)(x,y) の横の差 x−ax-a・縦の差 y−by-b を 22 辺とする直角三角形をつくると、斜辺がちょうど半径 rr。だから三平方の定理で (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 になる。中心が原点なら a=b=0a=b=0 で、いちばんシンプルな x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 だ。

(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
C(a, b)(x, y)x−ay−br
中心 (a,b)(a,b) と円周上の点 (x,y)(x,y) の横の差・縦の差を脚にすると、斜辺が半径 rr の直角三角形。三平方で (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

成り立つ条件

r>0r>0。展開した一般形 x2+y2+Ax+By+C=0x^2+y^2+Ax+By+C=0 も平方完成すれば中心・半径に戻せるけれど、円として実在するのは (A2)2+(B2)2−C>0\left(\tfrac{A}{2}\right)^2+\left(\tfrac{B}{2}\right)^2-C>0 のときだけ(=0=0 なら 11 点、<0<0 なら円なし)。

証明(なぜ成り立つ?)

「円周上にある=中心からの距離が rr」を、距離公式(三平方の定理)で 22 乗するだけ。

  1. 1

    円周上の点を P(x,y)P(x,y)、中心を C(a,b)C(a,b) とする。「PP が円周上にある」とは「CC からの距離がちょうど半径 rr」ということ、つまり CP=rCP=r だね。

  2. 2

    CC から PP までを、横の差 x−ax-a と縦の差 y−by-b に分ける。この 22 つは座標軸に平行だから直角に交わり、CPCP を斜辺とする直角三角形ができる。三平方の定理を当てよう。

    CP2=(x−a)2+(y−b)2CP^2=(x-a)^2+(y-b)^2
  3. 3

    距離は CP=rCP=r だから、両辺を 22 乗すると左辺がそのまま円の方程式になる。中心を原点にとれば a=b=0a=b=0 で、いちばんシンプルな形だ。

    (x−a)2+(y−b)2=r2(原点中心:  x2+y2=r2)(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\qquad(\text{原点中心: }\ x^2+y^2=r^2)

逆

逆に (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 を満たす点はどれも、中心 CC からの距離がちょうど rr=円周上にある(過不足なし)。だから「式」と「円」はぴったり 11 対 11 で対応するよ。

補足・つまずきポイント

左辺は 22 点間の距離公式 (x−a)2+(y−b)2\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} の 22 乗そのもの。点 (x,y)(x,y) が円の内・上・外のどこにあるかは、左辺と r2r^2 の大小だけで判定できる(内なら <r2<r^2、上なら =r2=r^2、外なら >r2>r^2)。中心からの距離=半径という 11 行を座標に翻訳した式、と覚えておこう。

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