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球の体積と表面積 — 円4つ分と、中心へのとんがり

まるく曲がった球の表面積と体積は、どうやって求めればいいだろう。平らな形にむすびつけるコツを使って、半径だけで書ける式にせまろう。

半径6の球だよ。体積と表面積を知りたいんだけど、まるく曲がっているから一見むずかしそうだね。コツは「平らな形にむすびつける」こと。

これだけ思い出そう

「おうぎ形」で、円の面積が $\pi r^2$ で求められたね。今回はその円の面積を手がかりに、球の表面積と、中身を細かい錐でうめる体積の考え方をさぐるよ。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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半径6の球だよ。体積と表面積を知りたいんだけど、まるく曲がっているから一見むずかしそうだね。コツは「平らな形にむすびつける」こと。
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まず表面積。球の皮をぺりっとはいで平らにならすと、ふしぎなことに半径6の円ちょうど4枚分。だから $S=4 \times \pi \times 6^2=144\pi$ 。表面積は円4つ分、と覚えよう。
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次は体積。今度は球の中身を、表面の小さなかけらを底・中心Oをてっぺんにした細いとんがり(錐)で、すきまなくうめつくすと想像してみよう。
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とんがり1本の体積は、錐だから 1/3 × (底のかけら) × 高さ。高さはどれも中心までの長さ、つまり半径6でそろっているよ。
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とんがりの底を全部あつめると、球の表面ぜんぶ=表面積 $144\pi$ 。だから体積= $1/3 \times 144\pi \times 6=288\pi$ 。これが $V=4/3\pi r^3$ の正体だよ。
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まとめ。表面積 $S=4\pi r^2$ (半径の円4つ分)、体積 $V=4/3\pi r^3$ (= 1/3 × 表面積 × 半径)。どちらも半径だけで決まるんだ。Aを動かして半径を測ってみよう。