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空間図形

球の体積と表面積

半径 rr の球は表面積 S=4πr2S=4\pi r^2(半径の円 44 つ分)、体積 V=43πr3V=\dfrac43\pi r^3。

主張

半径 rr の球の表面積は S=4πr2S=4\pi r^2、体積は V=43πr3V=\dfrac43\pi r^3 だよ。まるく曲がっていてむずかしそうだけど、平らな形にむすびつけると腑に落ちる。表面積は「半径 rr の円ちょうど 44 枚分」。体積は「表面の小さなかけらを底・中心を頂点にした細い錐(とんがり)で、中身をすきまなくうめつくす」と考えると、V=13×S×r=13×4πr2×r=43πr3V=\dfrac13\times S\times r=\dfrac13\times4\pi r^2\times r=\dfrac43\pi r^3 と表面積から導ける。どちらも半径 rr ひとつだけで決まるんだ。

S=4πr2V=43πr3S=4\pi r^2\qquad V=\dfrac43\pi r^3
Orπr²πr²πr²πr²
球の表面をならすと半径 rr の円ちょうど 44 枚分=表面積 4πr24\pi r^2。

成り立つ条件

r>0r>0。SS は球面(中身を含まない皮)の面積、VV は球の中身の体積。半球にすると体積も球面のぶんも半分になるけれど、切り口の円 πr2\pi r^2 がそこに加わる点に注意しよう。

なぜそう決まる?

球の中身を「表面の小さなかけらを底・中心 OO を頂点にした細い錐」でうめつくし、錐の体積をすべて足し合わせる。

  1. 1

    まず表面積。球の皮をはいで平らにならすと、ふしぎなことに半径 rr の円ちょうど 44 枚分の広さになる(これは積分で確かめられる事実だよ)。だから S=4×πr2=4πr2S=4\times\pi r^2=4\pi r^2。

  2. 2

    体積は、中身を「表面の小さなかけらを底・中心 OO を頂点とする細い錐」ですきまなくうめると考える。錐 11 本の体積は、錐だから 13×(\dfrac13\times(底のかけらの面積)×()\times(高さ)) だね。

  3. 3

    どの錐も高さは中心 OO までの長さ、つまり半径 rr でそろっている。だから全部を足し合わせると、底のかけらの合計はちょうど表面積 SS になる。

    V=13×S×r=13×4πr2×rV=\dfrac13\times S\times r=\dfrac13\times4\pi r^2\times r
  4. 4

    整理すると体積の公式が出るよ。たとえば半径 66 なら S=4π⋅62=144πS=4\pi\cdot6^2=144\pi、V=13⋅144π⋅6=288πV=\dfrac13\cdot144\pi\cdot6=288\pi だね。

    V=43πr3V=\dfrac43\pi r^3

逆

体積や表面積から半径を逆算できる。r=S4πr=\sqrt{\dfrac{S}{4\pi}}、r=3V4π3r=\sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}。さらに SS と VV は V=13SrV=\dfrac13 Sr で結ばれていて、VS=r3\dfrac{V}{S}=\dfrac r3 という比もいつも成り立つよ。

補足・つまずきポイント

厳密に示すには積分(またはカヴァリエリの原理)が必要なので、ここでは「なぜそうなるか」の直観として錐でうめる説明を置いている。表面積が円 44 枚分・体積が 13Sr\dfrac13 Sr という関係は、同じ半径 rr・高さ 2r2r の「円錐:球:円柱」の体積比 1:2:31:2:3 とも結びつく(球はちょうどまん中)。

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