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立体の計量(取り出して三平方)

立体の中を通る対角線の長さを求めたいとき、どうすればいいだろう。必要な三角形を平面に取り出して、そこで解けるか試そう。

たて3・よこ4・高さ12の直方体だよ。頂点Aから、対角のGまでの長さAGを知りたい。立体のままだと難しいね。

これだけ思い出そう

「三平方の定理」で、直角三角形の3辺には $a^2 + b^2 = c^2$ の関係があったのを思い出そう。立体のままでは使えないけれど、直角三角形を1枚、平面に取り出せればそのまま使えるよ。

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たて3・よこ4・高さ12の直方体だよ。頂点Aから、対角のGまでの長さAGを知りたい。立体のままだと難しいね。
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コツは「必要な直角三角形を平面で取り出す」こと。まず底面だけ見ると、直角三角形ABC(∠B=90°)だね。
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三平方で $AC^2 = 4^2 + 3^2 = 25$ 。だから $AC = 5$ だ。3・4・5 の直角三角形だね。
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次は、ACを底辺・高さCGの直角三角形ACG。CGは底面に垂直だから∠C=90°。これを横に取り出してみよう。
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取り出した平面の直角三角形で、もう一度三平方。 $AG^2 = 5^2 + 12^2 = 169$ 。これも 5・12・13 のきれいな形!
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$AG = \sqrt{169} = 13$ 。立体は、必要な直角三角形を平面に取り出せば三平方で解ける。下の三角形を動かして $a^2+b^2=c^2$ を確かめてみよう。