証明: 三平方の定理

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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   $\angle C$ が直角の三角形。直角をはさむ2辺を $a$・$b$、斜辺を $c$ と呼ぶよ。この3辺のあいだに $a^2+b^2=c^2$ が成り立つことを、面積で示していこう。

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   同じ三角形をあと3枚。中心のまわりに $90^\circ$ ずつ回して並べるよ。どの辺でも $a$ と $b$ がつながるから、外側は1辺 $a+b$ の正方形になる。4本の斜辺が内側に四角形をつくったね。

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   内側の四角形の4辺を見て。どれも直角三角形の斜辺だから、長さはぜんぶ $c$ だ(同じ色の印)。

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   こんどは角。三角形の内角の和は $180^\circ$ で、そのうち1つは直角だよね。だから残り2つの角、緑と紫を足すとちょうど $90^\circ$ になる。

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   $B$ に注目。となりの三角形は回してできた合同な三角形だから、その鋭角はもとの緑の角と等しいよね。底辺は一直線 $180^\circ$。紫と緑で $90^\circ$ 使うから、残りはやっぱり $90^\circ$ だ!

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   残りの3つの角にも、まったく同じ理由が使える。4辺が $c$ で等しくて、4つの角がどれも直角。これで内側は1辺 $c$ の正方形だと確定したよ。面積は $c^2$ だね。

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   ここから面積を2通りに数えるよ。まず全体。大きい正方形の1辺は $a+b$ だから、面積は $(a+b)^2$。展開すると $a^2+2ab+b^2$ だ。

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   同じ全体を、こんどは中身で数えよう。三角形1枚の面積は $\tfrac12 ab$ で、それが4枚。そこに内側の正方形 $c^2$ を足せば、やっぱり全体になるね。

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   同じ面積を2通りに数えたのだから、この2つは等しい。両辺から $2ab$ を引くと…ほら、三平方の定理が出てきた!

   $$a^2+2ab+b^2 = 2ab+c^2 \;\Longrightarrow\; a^2+b^2=c^2$$
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    同じものを2通りに数えて、出てきた式をくらべる。面積を使う証明の王道だよ。答案では「内側が正方形になる理由」まで書けると満点だね。