⏳ 読み込み中… この表示が消えないときは、ページを再読み込みしてください

証明: 2点から等距離な点は垂直二等分線上

2点から同じ距離にある点をとると、その点はいつも線分の垂直二等分線の上に来る。作図でずっと使ってきたこの事実を、合同を使って証明してみよう。

線分 $AB$ と、 $A$ からも $B$ からも同じ距離にある点 $P$ があるよ(同じ色=等しい長さ)。作図でコンパスの半径を変えずにとった、あの交点だね。

これだけ思い出そう

「合同」で、3組の辺がそれぞれ等しいと三角形が合同(SSS)だったね。「垂直二等分線の作図」では、コンパスを同じ半径にして2点から等距離の点をとった。この2つが今回の道具だよ。

あやしいと思ったら、先にここへ戻ろう

テキストで読む

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1
線分 $AB$ と、 $A$ からも $B$ からも同じ距離にある点 $P$ があるよ(同じ色=等しい長さ)。作図でコンパスの半径を変えずにとった、あの交点だね。
2
示したいのは「 $P$ が $AB$ の垂直二等分線上にある」こと。そこで $AB$ の中点 $M$ をとって、 $P$ と結ぼう。中点だから $AM = BM$ だね(別の色)。
3
くらべたい2枚は $\triangle PAM$ と $\triangle PBM$ 。いま引いた $PM$ は、どちらの三角形にも入っている共通の辺だよ。
4
$PA = PB$ 、 $AM = BM$ 、 $PM$ は共通。角は1つも使っていないのに、3組の辺がそれぞれ等しいだけで合同が言えるんだ。これが $SSS$ (3辺相等)だよ。
5
合同な三角形は、対応する角も等しい。だから $\angle PMA$ と $\angle PMB$ は等しいね。図では直角に見えるけれど、見た目に頼らず次で確かめよう。
6
$A$ ・ $M$ ・ $B$ は一直線上だから、2つの角をたすと $180^\circ$ 。等しい2つで $180^\circ$ なら、どちらも $90^\circ$ だ! $PM$ は $AB$ に垂直で、 $M$ は中点。つまり $P$ は垂直二等分線の上にあるよ。
7
作図でコンパスの交点2つを結んだ直線が垂直二等分線になるのは、これが理由だったんだね。3つの辺だけで合同にのせる $SSS$ は、角がわからない場面で強い武器になるよ。