対数不等式(真数条件+底の大小)

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   対数不等式 $\log_{\frac12}x>-2$ を満たす $x$ の範囲を求めよう。$y=\log_{\frac12}x$ は、底が1より小さいので右下がりの曲線だね。

3. 2

   気をつけたいのは2つ。$\log$ の中身(真数)は 0 より大きい?そして底が1より小さいと、不等号の向きはどうなる?解の範囲はどれだと思う?

4. ② 考え方
5. 3

   まず真数条件。$\log_{\frac12}x$ は真数 $x$ が正のときだけ意味をもつ。グラフも $x>0$(右半分)にしか無いよね。だから答えは必ず $x>0$ の中にあるんだ。ここを先に押さえるのがコツ。

6. 4

   次に境目。右辺 $-2$ は $\log_{\frac12}4$ と同じ($(\frac12)^{-2}=4$ だから)。曲線と横線 $y=-2$ は $x=4$ で交わる。ここが $\log_{\frac12}x=-2$ になる境目だね。

7. 5

   曲線は右下がり。$\log_{\frac12}x>-2$(横線より上)になるのは、交点より左=$x$ が小さい側だから $x<4$。もし底が2($>1$、右上がり)なら上に来るのは右側で $x>4$。底の大小で向きが逆になるんだ。

8. ③ 解答
9. 6

   だから底1/2 では $x<4$。これを真数条件 $x>0$ と合わせて、答えは $0<x<4$。確かめると $x=1$ で $\log_{\frac12}1=0>-2$ ✓、$x=8$ なら $\log_{\frac12}8=-3$ で不成立 ✓。

10. 7

    対数不等式は順番が大事。①真数>0 の定義域を先に押さえる ②底の大小で不等号(底>1 はそのまま・底<1 は反転)。グラフの上下で毎回確かめられる、これが使いどころだよ。