オイラーの定理で面の数を逆算

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   こんな立体だよ。頂点と辺は手前から数えやすいけど、面は奥にも隠れていて数えにくい。面の数 $F$ はいくつになるかな?

3. 2

   数えにくい面を、まともに数えずに出したいね。頂点 $V$ と辺 $E$ から面 $F$ を結ぶ関係式、何かなかったかな?それを使うと $F$ はいくつになる?

4. ② 考え方
5. 3

   まず頂点。まん中の四角に4つ、上に1つ、下に1つで $V = 6$ だね。

6. 4

   次に辺。まん中の四角に4本、上の頂点から4本、下の頂点から4本で $E = 12$。

7. ③ 解答
8. 5

   オイラーの定理 $V - E + F = 2$ を、面 $F$ について解こう。$F = 2 - V + E = 2 - 6 + 12 = 8$。数えにくかった面は8枚だ。

9. 6

   答えは面8枚。この立体、実は正八面体。名前のとおり上に4枚・下に4枚の三角形でちょうど8だね。数えにくい面も、逆算なら確実だ。

10. 7

    面の形と枚数がわかる立体なら、辺 $E$ =(1面の辺数 $\times$ 枚数)$\div$ 2 から頂点まで芋づる式。例: 正十二面体は正五角形12枚→$E = 30$、$V = 20$。これがオイラーの使いどころだよ。