⏳ 読み込み中… この表示が消えないときは、ページを再読み込みしてください

証明: 角の二等分線上の点は2辺から等距離

角を半分に分ける線の上に点をとると、その点から角の2辺までの距離はどうなるだろう。直角三角形の合同を使って、答案の形で示してみよう。

角 $XAY$ があって、その二等分線の上に点 $P$ をとったよ。分けられた2つの角は等しいね(同じ色)。示したいのは、この $P$ から2辺までの距離が等しいこと。

これだけ思い出そう

「合同」で、1辺とその両端の角が等しいと三角形が合同(ASA)だったね。「三角形の内角の和」とあわせると、直角三角形では「斜辺と1鋭角」でも合同が言えるよ。今回はこれを道具に証明を組み立てるんだ。

あやしいと思ったら、先にここへ戻ろう

テキストで読む

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1
角 $XAY$ があって、その二等分線の上に点 $P$ をとったよ。分けられた2つの角は等しいね(同じ色)。示したいのは、この $P$ から2辺までの距離が等しいこと。
2
点から直線までの距離は、垂線の長さだったね。 $P$ から $AX$ ・ $AY$ にそれぞれ垂線を下ろして、足を $D$ ・ $E$ とするよ。 $\angle ADP$ も $\angle AEP$ も直角だ。
3
くらべたい2枚は $\triangle ADP$ と $\triangle AEP$ 。どちらも直角三角形で、斜辺は同じ $AP$ を共有しているよ。共通だから、もちろん長さは等しいね。
4
直角が等しく、鋭角 $\angle XAP = \angle YAP$ も等しい。すると内角の和から残りの角も等しくなるから、斜辺 $AP$ とその両端の角が等しい( $ASA$ )。これが直角三角形の合同条件「斜辺と1鋭角」だよ。
5
合同な三角形は対応する辺が等しい。 $PD$ と $PE$ は対応する辺だから $PD = PE$ 。二等分線上の点は、2辺から等しい距離にある、と証明できたよ!
6
この性質は、三角形の3つの角の二等分線が1点に集まる「内心」の土台になるよ。二等分線を見たら、2辺への垂線を引いて直角三角形の合同にのせる。これが答案の型だね。