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相加平均 ≥ 相乗平均

2つの正の数の平均には、たしてわる「相加平均」と、かけてルートをとる「相乗平均」があるよ。この2つの大きさを、正方形の面積くらべで見くらべてみよう。

2つの正の数 $a$ と $b$ があるよ。たて $b$ ・横 $a$ の長方形を作ると、面積は $a \times b$ 。いまは $9 \times 1$ で、面積は 9 だね。

これだけ思い出そう

「平方根は正方形の一辺」で、 $\sqrt{ab}$ が面積 $ab$ の正方形の一辺だったね。「(a+b)² は4つのタイルに分かれる」で見た正方形の作りとあわせて、今回は2つの平均の大小をさぐるよ。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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2つの正の数 $a$ と $b$ があるよ。たて $b$ ・横 $a$ の長方形を作ると、面積は $a \times b$ 。いまは $9 \times 1$ で、面積は 9 だね。
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この長方形と『同じ面積』の正方形(緑)を作ると、一辺は $\sqrt{ab}$ になる。これを相乗平均と呼ぶよ。 $\sqrt{9} = 3$ だね。
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もう一つ、 $a$ と $b$ をならした平均 $(a+b)/2$ を相加平均というよ。一辺 $(a+b)/2$ の正方形(赤)を作ろう。 $(9+1)/2 = 5$ だね。
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2つの正方形を重ねてみると…相加平均(赤)のほうが相乗平均(緑)より大きくて、まわりにはみ出してるね。 $5 > 3$ だ。
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$a$ や $b$ を変えても、赤が緑をはみ出す関係は崩れない。相加平均 $\ge$ 相乗平均がいつも成り立つんだ。
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じゃあ等しくなるのはいつ? $a=b$ にしてみよう。 $a$ も $b$ も 4 にすると…ぴったり重なった!相加平均=相乗平均=4 だね。
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なぜいつも相加 $\ge$ 相乗? じつは2つの正方形の面積の差は $((a-b)/2)^2$ 。2乗はぜったいマイナスにならないから、赤が緑より小さくなることはないんだ。
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まとめ。 $(a+b)/2 \ge \sqrt{ab}$ 、等号は $a=b$ のときだけ。これは不等式の証明や最小値さがしでとても役立つ、有名な関係だよ。スライダーで確かめてみよう。