2直線の交点を位置ベクトルで出す

$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ とする。仮定より $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{ON} = \frac{2}{3}\overrightarrow{b}$

$P$ は直線 $AN$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて $\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AN}$ とすると $\overrightarrow{OP} = (1 - s)\overrightarrow{a} + s\overrightarrow{ON} = (1 - s)\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}s\overrightarrow{b}$ ……①

$P$ は直線 $BM$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{BP} = t\overrightarrow{BM}$ とすると $\overrightarrow{OP} = t\overrightarrow{OM} + (1 - t)\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}t\overrightarrow{a} + (1 - t)\overrightarrow{b}$ ……②

$\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}$、$\overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0}$ で、$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ は平行でない($O$、$A$、$B$ は三角形の頂点)ので、①、②の $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ の係数はそれぞれ等しい。

$1 - s = \frac{1}{2}t$ ……③、$\frac{2}{3}s = 1 - t$ ……④

③より $t = 2 - 2s$。④に代入して $\frac{2}{3}s = 2s - 1$ なので $\frac{4}{3}s = 1$、$s = \frac{3}{4}$、$t = \frac{1}{2}$

①に代入して $\overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}\overrightarrow{b} = \frac{1}{4}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

答え $\overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$