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垂直になる t を内積で求める

📖 言葉で読む:ベクトルの内積 →
a = (2, 1)b = (1, t)
① 考えてみよう

ベクトルは (x,y)(x, y) の成分でも表せるよ。a=(2,1)a = (2, 1)、b=(1,t)b = (1, t) が垂直になる tt を求めてみよう。

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  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    ベクトルは (x,y)(x, y) の成分でも表せるよ。a=(2,1)a = (2, 1)、b=(1,t)b = (1, t) が垂直になる tt を求めてみよう。

  3. 2

    tt を変えると bb の向きが変わるね。垂直の条件を思い出すと、tt はいくつになると思う?

  4. ② 考え方
  5. 3

    垂直 ⇔ 内積 0。成分どうしは x と x、y と y を掛けて足すと内積。a⋅b=2×1+1×t=2+ta \cdot b = 2 \times 1 + 1 \times t = 2 + t が 0 になればいいね。

  6. ③ 解答
  7. 4

    2+t=02 + t = 0 より t=−2t = -2。b=(1,−2)b = (1, -2) のとき、aa とぴったり直角になるよ!

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

a→=(2,1)\overrightarrow{a} = (2, 1)、b→=(1,t)\overrightarrow{b} = (1, t) はどちらも 0→\overrightarrow{0} でない(b→\overrightarrow{b} の xx 成分は 11)。

0→\overrightarrow{0} でない2つのベクトルが垂直であるための条件は、内積が 00 になることである。

内積の成分表示より a→⋅b→=2×1+1×t=2+t\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \times 1 + 1 \times t = 2 + t

a→⊥b→\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} となるのは 2+t=02 + t = 0 のときなので t=−2t = -2

(確かめ)t=−2t = -2 のとき b→=(1,−2)\overrightarrow{b} = (1, -2) で、a→⋅b→=2−2=0\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 - 2 = 0

答え t=−2t = -2

減点されやすいポイント

「垂直 ⇔ 内積 00」は、どちらも 0→\overrightarrow{0} でないときに使える条件なので、答案ではひとこと確かめておこう。移項で符号を落として t=2t = 2 にすると内積は 2+2=42 + 2 = 4 で 00 にならないし、xx と yy をたすきに掛けて 2t+1=02t + 1 = 0 から t=−12t = -\frac{1}{2} にすると内積は 2−12=322 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} だね。成分は「xx どうし、yy どうし」を掛けて足そう。解説では矢印を省いて書いたけど、答案ではベクトルに矢印をつけよう。

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