三角関数の合成と最大値

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   $3 \sin x$ という波(緑)だよ。山の高さは3。三角の問題では、これに $4 \cos x$ を足した『$3 \sin x + 4 \cos x$』の最大値を聞かれることが多いんだ。

3. 2

   足し合わせる相手、$4 \cos x$(赤)。山の高さは4。形は似てるけど、横にずれた波だね。この2つを足すと、どんな波になると思う?

4. 3

   緑と赤、2つの波を足すとどうなる?ガタガタの複雑な形?それとも意外ときれいな1本の波にまとまる?足した波の最大値はいくつになりそう?

5. ② 考え方
6. 4

   じつは、2つの波の足し算は『1本の波』にまとまるんだ。それが $y = 5 \sin(x + \varphi)$(黄)。$\varphi$ は横ずれ(位相)だよ。図でも2波の和がこの黄色い波にぴったり重なってるね。

7. 5

   新しい波の高さ(振幅)は5。これは「合成の公式」$R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ で、元の係数から出るんだ。3と4から、ちょうど5が出てくるよ。

8. ③ 解答
9. 6

   1本にまとまると最大値がすぐわかる。$\sin$ の最大は1だから、$5 \sin(x + \varphi)$ の最大値は $5 \times 1 = 5$。山のてっぺんが、その瞬間だよ。

10. 7

    $a \sin x + b \cos x$ は $R \sin(x + \varphi)$ に合成でき、$R = \sqrt{a^2+b^2}$ が最大値。バラバラの2波を1本にまとめて山の高さを読むのが、合成の使いどころだよ。