三角関数の積を和に直す(積和の公式)

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   $y = 2\sin 3x\cos x$ のグラフ(緑)だよ。サインとコサイン、2つの波の『かけ算』なんだ。ぐにゃぐにゃして、正直どんな形か読みにくいよね。

3. 2

   じつはこの『かけ算の波』、もっと素直な『2つの波の足し算』に書き直せるんだ。$2\sin 3x\cos x$ は、どんな2つの波の和になると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   カギは積和の公式 $2\sin A\cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$。加法定理を2つ足すと出るよ。$A=3x$、$B=x$ なら和は $4x$、差は $2x$ になるね。

6. 4

   だから足し算の形は $\sin 4x + \sin 2x$(赤)。重ねてみると…ほら、緑のかけ算の波にぴったり一致!同じ色がそろうみたいに、2本が完全に重なるよ。

7. ③ 解答
8. 5

   答えは $2\sin 3x\cos x = \sin 4x + \sin 2x$。ぐにゃぐにゃの『積』が、周期のはっきりした2つの波の『和』に化けたね。

9. 6

   積の形は扱いにくいけど、和なら各波の周期がすぐ読めるし、積分するのもぐっと楽になる。かけ算を足し算に直す。これが積和の公式の使いどころだよ。