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三角関数の合成と最大値

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三角関数の合成と最大値全3問
3 sin x
① 考えてみよう

3sin⁡x3 \sin x という波(緑)だよ。山の高さは3。三角の問題では、これに 4cos⁡x4 \cos x を足した『3sin⁡x+4cos⁡x3 \sin x + 4 \cos x』の最大値を聞かれることが多いんだ。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    3sin⁡x3 \sin x という波(緑)だよ。山の高さは3。三角の問題では、これに 4cos⁡x4 \cos x を足した『3sin⁡x+4cos⁡x3 \sin x + 4 \cos x』の最大値を聞かれることが多いんだ。

  3. 2

    足し合わせる相手、4cos⁡x4 \cos x(赤)。山の高さは4。形は似てるけど、横にずれた波だね。この2つを足すと、どんな波になると思う?

  4. 3

    緑と赤、2つの波を足すとどうなる?ガタガタの複雑な形?それとも意外ときれいな1本の波にまとまる?足した波の最大値はいくつになりそう?

  5. ② 考え方
  6. 4

    じつは、2つの波の足し算は『1本の波』にまとまるんだ。それが y=5sin⁡(x+φ)y = 5 \sin(x + \varphi)(黄)。φ\varphi は横ずれ(位相)だよ。図でも2波の和がこの黄色い波にぴったり重なってるね。

  7. 5

    新しい波の高さ(振幅)は5。これは「合成の公式」R=32+42=25=5R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 で、元の係数から出るんだ。3と4から、ちょうど5が出てくるよ。

  8. ③ 解答
  9. 6

    1本にまとまると最大値がすぐわかる。sin⁡\sin の最大は1だから、5sin⁡(x+φ)5 \sin(x + \varphi) の最大値は 5×1=55 \times 1 = 5。山のてっぺんが、その瞬間だよ。

  10. 7

    asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x は Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi) に合成でき、R=a2+b2R = \sqrt{a^2+b^2} が最大値。バラバラの2波を1本にまとめて山の高さを読むのが、合成の使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

xx の範囲の指定が無いので、0∘≦x<360∘0^\circ \leqq x < 360^\circ で考える。

3sin⁡x+4cos⁡x=5(35sin⁡x+45cos⁡x)3\sin x + 4\cos x = 5\left(\frac{3}{5}\sin x + \frac{4}{5}\cos x\right) と変形する(32+42=5\sqrt{3^2 + 4^2} = 5)。

(35)2+(45)2=1\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 なので、cos⁡α=35\cos\alpha = \frac{3}{5}、sin⁡α=45\sin\alpha = \frac{4}{5} となる角 α\alpha(0∘<α<90∘0^\circ < \alpha < 90^\circ)がある。

加法定理より 3sin⁡x+4cos⁡x=5(sin⁡xcos⁡α+cos⁡xsin⁡α)=5sin⁡(x+α)3\sin x + 4\cos x = 5(\sin x\cos\alpha + \cos x\sin\alpha) = 5\sin(x + \alpha)

−1≦sin⁡(x+α)≦1-1 \leqq \sin(x + \alpha) \leqq 1 なので、3sin⁡x+4cos⁡x3\sin x + 4\cos x の最大値は 55 で、sin⁡(x+α)=1\sin(x + \alpha) = 1、すなわち x+α=90∘x + \alpha = 90^\circ のときにとる(α≦x+α<360∘+α\alpha \leqq x + \alpha < 360^\circ + \alpha でこれを満たすのはこの1つ)。

答え 最大値 55(x=90∘−αx = 90^\circ - \alpha のとき。ただし α\alpha は cos⁡α=35\cos\alpha = \frac{3}{5}、sin⁡α=45\sin\alpha = \frac{4}{5} を満たす 0∘<α<90∘0^\circ < \alpha < 90^\circ の角)

減点されやすいポイント

解説の φ\varphi を、答案では α\alpha と書いたよ。合成では「cos⁡α=35\cos\alpha = \frac{3}{5}、sin⁡α=45\sin\alpha = \frac{4}{5} となる角 α\alpha」と、角の決め方まで書くのがポイントだね。山の高さ 33 と 44 をたして 77 とするのは、2つの山が同じ xx で来ると思いこんだまちがいで、3sin⁡x3\sin x の山は x=90∘x = 90^\circ、4cos⁡x4\cos x の山は x=0∘x = 0^\circ でずれているんだ。大きいほうの 44 で止めるのも、足した分を見落としているよ。

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