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二次関数の変域と最大・最小

二次関数の変域と最大・最小全6問

① 考えてみよう

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ だよ。一番下の頂点は原点 $(0, 0)$ 。ここがこの関数のいちばん低いところだね。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

① 考えてみよう
1
放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ だよ。一番下の頂点は原点 $(0, 0)$ 。ここがこの関数のいちばん低いところだね。
2
$x$ は何でもいいわけじゃなく「 $-1$ から $2$ まで」と決められることがある。これが変域だよ。その範囲を帯で塗ってみるね。
3
変域が $-1$ から $2$ のこの帯の中で、 $y$ がいちばん大きくなるのはどこ?いちばん小さくなるのはどこ?最大と最小を予想してみよう。
② 考え方
4
帯の中の放物線だけが使える部分。両端 $x = -1$ と $x = 2$ のところに点を打つよ。 $y$ の値は端で $0.5$ と $2$ になってるね。
5
いまは頂点 $(0, 0)$ が帯の中に入ってるね。だから最小は頂点の $0$ 。最大はいちばん高い右端で、 $y = 2$ 。これが $y$ の変域だよ。
6
では帯を右へずらして「 $1$ から $3$ まで」にしてみよう。両端の点が放物線にそって上がっていくのを見ていてね。
7
頂点が帯の外に出たね!こうなると最小はもう $0$ じゃなく、いちばん低い左端で $y = 0.5$ 。最大は右端で $y = 4.5$ に変わったよ。
③ 解答
8
最初の変域 $-1$ から $2$ では、最大 $2$ ・最小 $0$ だったね。変域の最大・最小は、頂点が範囲に入るかで決まる。グラフと帯で確かめるのが変域問題の使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

$y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフは、原点 $(0, 0)$ を頂点とする上に開いた放物線である。

変域 $-1 \le x \le 2$ は頂点の $x = 0$ をふくむので、 $y$ は $x = 0$ のとき最小で $y = 0$ 。

$x = -1$ のとき $y = \frac{1}{2}$ 、 $x = 2$ のとき $y = 2$ なので、 $y$ は $x = 2$ のとき最大で $y = 2$ 。

よって $y$ の変域は $0 \le y \le 2$ である。

答え最大値 $2$ ( $x = 2$ のとき)、最小値 $0$ ( $x = 0$ のとき)

減点されやすいポイント

両端の値だけを計算して「最小値 $\frac{1}{2}$ 」とするのが定番のまちがい。先に頂点が変域に入るかどうかを確かめて、答案にもそのひとことを書こう。簡単なグラフをかき添えると、採点する人にも考えの筋が伝わりやすいよ。

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