三平方の定理の解き方｜折り返し問題

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① 考えてみよう
1
1辺6の正方形ABCDの紙。頂点Aを、辺CDの真ん中Mにぴったり重なるように折るよ。
2
折り目を線分PQとして、ぱたんと折ってみよう。Aが動いてMにぴったり重なるね。
3
折るとAがMにぴったり重なったね。この『重なり=同じ長さ』が手がかりだよ。さあ、PからDまでの長さ PD は何cmになるだろう?
② 考え方
4
折り返しはぴったり重なる=合同。だから折る前のPAと、折った後のPMは同じ長さだよ。
5
求めたいPDをxとおこう。AD=6だから PA=6−x、つまり PM も 6−x。MはCDの中点だから DM=3だね。
③ 解答
6
直角三角形PDMで三平方を使うよ。 $x^2 + 3^2 = (6-x)^2$ を整理すると 9 = 36 − 12x。
7
解くと $x = \frac{9}{4}$ 。PDの長さは $\frac{9}{4}$ cm(=2.25cm)だ。折り返し→合同→三平方、の流れがコツだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

$PD = x$ cm とおく。 $AD = 6$ より $PA = 6 - x$ である。

折り返した図形は元の図形と合同なので $PM = PA = 6 - x$ 。

$M$ は辺 $CD$ の中点だから $DM = 3$ 。

四角形 $ABCD$ は正方形なので $\angle PDM = 90^\circ$ 。直角三角形 $PDM$ で三平方の定理より

$x^2 + 3^2 = (6 - x)^2$

$x^2 + 9 = 36 - 12x + x^2$ より $12x = 27$

$x = \frac{9}{4}$ (これは $0 < x < 6$ を満たす)

答え $PD = \frac{9}{4}$ cm

減点されやすいポイント

「折り返すと重なる辺は等しい」は、 $PM = PA$ の根拠としてひとこと書こう。いきなり $PM = 6 - x$ と書くと、どこから出てきた長さなのか採点する人に伝わらないよ。三平方を使う前に、どの角が直角かとその理由も忘れずに。

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折り返し問題