空間の点と平面の距離(法線ベクトル)

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   空間に平面 x+2y+2z=6 があって、そこから離れた点 P(3,3,3) があるよ。点Pは、この平面からどれくらい離れてるかな?ななめから見た図だと、目では測れないね。

3. 2

   斜めの絵だと、$P$ から平面までの「まっすぐな距離」は見た目では決められない。でも座標と式があれば計算で出せるんだ。距離はいくつになると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   ここからは発展だよ。平面の式や距離の公式はまだ習っていないけど、ここでは認めて使い、習った内積で筋を通すよ。距離はPから平面へのベクトルの「法線方向の成分」の長さで、その成分は内積ではかれるんだ。

6. 4

   その「法線方向」が平面の法線ベクトル n。平面 $ax+by+cz=d$ の係数が、そのまま法線 $n=(a,b,c)$ になる。ここでは $n=(1,2,2)$、長さは $|n|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt9=3$ だね。

7. 5

   さっきの「法線方向の成分=内積」を式にすると、距離の公式は $\dfrac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 - d|}{|n|}$。分子が法線方向の内積、それを $|n|$ で割って長さに直すんだ。

8. 6

   P(3,3,3) を入れて分子を計算。$|1\cdot3 + 2\cdot3 + 2\cdot3 - 6| = |3 + 6 + 6 - 6| = |9| = 9$ だよ。

9. ③ 解答
10. 7

    あとは $|n|=3$ で割るだけ。距離 $=\dfrac{9}{3}=3$。ななめの絵では測れなかったのに、式だと一発で出たね!

11. 8

    見つけるコツ: 平面 $ax+by+cz=d$ の距離は「$(a,b,c)$ に点を代入して $-d$、絶対値をとって $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ で割る」。法線ベクトルが距離をはかるものさしだよ。