⏳ 読み込み中… この表示が消えないときは、ページを再読み込みしてください

← マップ

空間の点と平面の距離(法線ベクトル)

📖 言葉で読む:空間ベクトルの内積(成分表示) →
空間の点と平面の距離(法線ベクトル)全3問
xyzP(3,3,3)
① 考えてみよう

空間に平面 x+2y+2z=6 があって、そこから離れた点 P(3,3,3) があるよ。点Pは、この平面からどれくらい離れてるかな?ななめから見た図だと、目では測れないね。

テキストで読む

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    空間に平面 x+2y+2z=6 があって、そこから離れた点 P(3,3,3) があるよ。点Pは、この平面からどれくらい離れてるかな?ななめから見た図だと、目では測れないね。

  3. 2

    斜めの絵だと、PP から平面までの「まっすぐな距離」は見た目では決められない。でも座標と式があれば計算で出せるんだ。距離はいくつになると思う?

  4. ② 考え方
  5. 3

    ここからは発展だよ。平面の式や距離の公式はまだ習っていないけど、ここでは認めて使い、習った内積で筋を通すよ。距離はPから平面へのベクトルの「法線方向の成分」の長さで、その成分は内積ではかれるんだ。

  6. 4

    その「法線方向」が平面の法線ベクトル n。平面 ax+by+cz=dax+by+cz=d の係数が、そのまま法線 n=(a,b,c)n=(a,b,c) になる。ここでは n=(1,2,2)n=(1,2,2)、長さは ∣n∣=12+22+22=9=3|n|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt9=3 だね。

  7. 5

    さっきの「法線方向の成分=内積」を式にすると、距離の公式は ∣ax0+by0+cz0−d∣∣n∣\dfrac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 - d|}{|n|}。分子が法線方向の内積、それを ∣n∣|n| で割って長さに直すんだ。

  8. 6

    P(3,3,3) を入れて分子を計算。∣1⋅3+2⋅3+2⋅3−6∣=∣3+6+6−6∣=∣9∣=9|1\cdot3 + 2\cdot3 + 2\cdot3 - 6| = |3 + 6 + 6 - 6| = |9| = 9 だよ。

  9. ③ 解答
  10. 7

    あとは ∣n∣=3|n|=3 で割るだけ。距離 =93=3=\dfrac{9}{3}=3。ななめの絵では測れなかったのに、式だと一発で出たね!

  11. 8

    見つけるコツ: 平面 ax+by+cz=dax+by+cz=d の距離は「(a,b,c)(a,b,c) に点を代入して −d-d、絶対値をとって a2+b2+c2\sqrt{a^2+b^2+c^2} で割る」。法線ベクトルが距離をはかるものさしだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

平面 x+2y+2z=6x + 2y + 2z = 6 の法線ベクトル(平面に垂直なベクトル)は、xx、yy、zz の係数を並べた n⃗=(1,2,2)\vec{n} = (1, 2, 2) である。

∣n⃗∣=12+22+22=9=3|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3

点と平面の距離の公式(解説で発展として認めた公式)より、点 (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) と平面 ax+by+cz=dax + by + cz = d の距離は ∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} である。

点 P(3,3,3)P(3, 3, 3) を代入すると、分子は ∣1×3+2×3+2×3−6∣=∣9∣=9|1 \times 3 + 2 \times 3 + 2 \times 3 - 6| = |9| = 9

よって、求める距離は 93=3\frac{9}{3} = 3

(確かめ)PP から平面におろした垂線の足を HH とすると、PH⃗\vec{PH} は n⃗\vec{n} に平行なので OH⃗=(3+t,3+2t,3+2t)\vec{OH} = (3 + t, 3 + 2t, 3 + 2t)(tt は実数)と表せる。平面の式に代入すると (3+t)+2(3+2t)+2(3+2t)=15+9t=6(3 + t) + 2(3 + 2t) + 2(3 + 2t) = 15 + 9t = 6 より t=−1t = -1 で、H(2,1,1)H(2, 1, 1)、PH=∣−n⃗∣=3PH = |-\vec{n}| = 3 となり一致する。

答え 33

減点されやすいポイント

距離の公式は、分子の「点を代入して −d-d、絶対値」と、分母の「a2+b2+c2\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}」の2か所を確かめよう。定数項の −6-6 を忘れると 153=5\frac{15}{3} = 5、ルートをとらずに ∣n⃗∣2=9|\vec{n}|^2 = 9 でわると 11、分母でわり忘れると 99 になってしまうね。答案では公式を書いてから数を代入すると、何を使ったかが採点する人に伝わるよ。

友だちに教えるLINEで送るXに投稿

関連するコンテンツ

もとになる考え方(レッスン)

関連する使いどころ

言葉で読む(定理辞典)