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定点から円までの距離の最大・最小

📖 言葉で読む:円の方程式 →点と直線の距離 →
定点から円までの距離の最大・最小全2問
CPQ
① 考えてみよう

円の外に点 P があるよ。円周上の点 Q まで、P からの距離を考えよう。Q を円のふちに沿って動かすと、距離はのびたり縮んだりするね。いちばん短いとき・長いときは、どこ?

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    円の外に点 P があるよ。円周上の点 Q まで、P からの距離を考えよう。Q を円のふちに沿って動かすと、距離はのびたり縮んだりするね。いちばん短いとき・長いときは、どこ?

  3. 2

    QQ が円のどこにあるとき、PQPQ は最短・最長になると思う?円のふちをぐるっと一周させながら予想してみよう。

  4. ② 考え方
  5. 3

    中心 C と P を通る直線をひくよ。最短・最長になる Q は、じつはこの直線の上(円とぶつかる2点)にあるんだ。半径は r=2r=2、中心までの距離は d=5d=5(図のめもりで数えてみて)。

  6. 4

    Q を P に近い側まで回すと、距離は最小。ここは「中心までの距離 dd」から「半径 rr」を1つぶん引いた長さ。d−r=5−2=3d - r = 5 - 2 = 3 だよ。

  7. ③ 解答
  8. 5

    反対に、いちばん遠い側まで回すと最大。中心の向こうへ半径ぶん行きすぎるから、d+r=5+2=7d + r = 5 + 2 = 7。これが最長だね。

  9. 6

    まとめ。点と円の距離は、中心を通る直線の上で最小 d−rd-r・最大 d+rd+r。点と直線では垂線が最短だったね。「いちばん近い・遠い」は、中心とのきょりで考えるのが使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

図のめもりより、中心 CC を原点とする座標をとると、円の半径は 22、P(5,0)P(5, 0) である。円の方程式は x2+y2=4x^2 + y^2 = 4

円周上の点を Q(x,y)Q(x, y) とすると、x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 ……① で、y2≧0y^2 \geqq 0 なので x2≦4x^2 \leqq 4 となり、−2≦x≦2-2 \leqq x \leqq 2 ……②

2点間の距離の公式と①より PQ2=(x−5)2+y2=x2+y2−10x+25=29−10xPQ^2 = (x - 5)^2 + y^2 = x^2 + y^2 - 10x + 25 = 29 - 10x

②より、PQ2PQ^2 は x=2x = 2 のとき最小値 29−20=929 - 20 = 9、x=−2x = -2 のとき最大値 29+20=4929 + 20 = 49 をとる。

PQ>0PQ > 0 なので、PQPQ の最小値は 33、最大値は 77 である。

x=±2x = \pm 2 のとき①より y=0y = 0 なので、そのときの QQ は (2,0)(2, 0)、(−2,0)(-2, 0) で、どちらも中心 CC と PP を通る直線(xx 軸)と円の交点である。

答え 最小 33(QQ が直線 CPCP と円の交点のうち PP に近いほう)、最大 77(QQ が遠いほう)

減点されやすいポイント

「中心を通る直線の上で最小・最大」は、座標で PQ2=29−10xPQ^2 = 29 - 10x と表すと理由まで書けるよ。最小は d−r=5−2d - r = 5 - 2、最大は d+r=5+2d + r = 5 + 2 という形も覚えておくと確かめに使えるね。PP から引いた接線の接点までは 52−22=21\sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21}(≒4.58\fallingdotseq 4.58)、CC を通り CPCP に垂直な直線と円の交点 (0,±2)(0, \pm 2) までは 29\sqrt{29}(≒5.39\fallingdotseq 5.39)で、どちらも最小でも最大でもないよ。

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