対角線の交点を通る直線で OP = OQ

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   平行四辺形 $ABCD$ の対角線の交点を $O$ とするよ。$O$ を通る1本の直線が、辺 $AB$ と $P$ で、辺 $DC$ と $Q$ で交わっている。このとき、じつは $OP = OQ$。$O$ がちょうど $PQ$ のまん中になるんだ。なぜそう言えるか考えよう。

3. 2

   $OP$ と $OQ$ を直接くらべるのは難しい。それぞれを1辺に含む三角形の合同を狙おう。$OP$ を含む $\triangle OAP$ と組む相手はどれ?

4. ② 考え方
5. 3

   $\triangle OAP$ と $\triangle OCQ$ に注目。まず平行四辺形の対角線は互いを二等分するから $OA = OC$(同じ色)。$O$ は対角線 $AC$ のまん中だね。

6. 4

   次に交点 $O$ にできる $\angle AOP$ と $\angle COQ$ は対頂角で等しい。さらに $AB \parallel DC$ の錯角で $\angle OAP = \angle OCQ$。「1辺 $OA=OC$ と、その両端の角」がそろったよ。

7. ③ 解答
8. 5

   1辺と両端の角がそれぞれ等しいから、$\triangle OAP \equiv \triangle OCQ$(ASA)。合同な三角形の対応する辺だから、$OP = OQ$。$O$ は $PQ$ のまん中だと示せたね!

9. 6

   コツは「対角線の交点 $O$ は、対角線を二等分する $=OA=OC$」という性質を合同の1辺として使うこと。$O$ を通る直線は、平行四辺形をいつも点対称に切る。だから $O$ でまん中に分かれるんだ。