平行四辺形になる放物線上の点を求める

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   放物線 $y = x^2$ と、3つの点 A$(-3, 2)$・B$(0, 3)$・C$(1, 5)$ があるよ。この3点を頂点にして、残り1つの頂点 D を放物線の上にとり、平行四辺形 ABCD を作りたいんだ。

3. 2

   平行四辺形は向かい合う辺が平行で同じ長さ。3点が決まれば、残りの1点 D は1か所に決まるよ。放物線の上のどこに来ると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   平行四辺形のいちばんのカギは「2本の対角線が、互いの中点で交わる」こと。ABCD の対角線は AC と BD だね。まず AC の中点 M を出そう。$M = \left(\frac{-3+1}{2},\ \frac{2+5}{2}\right) = (-1,\ 3.5)$。

6. 4

   BD の中点も同じ M。だから B から M へ進んだのと同じだけ、M からさらに進んだ先が D だよ。$D = 2M - B = (2\times(-1)-0,\ 2\times3.5-3) = (-2,\ 4)$。($D = A + C - B$ でも同じ答え。)

7. 5

   この D$(-2, 4)$ を放物線 $y = x^2$ に入れてみると、$(-2)^2 = 4$ でぴったり。ちゃんと放物線の上にのっているね。

8. ③ 解答
9. 6

   だから答えは D$(-2, 4)$。平行四辺形 ABCD の完成だよ。残りの1点は「対角線の中点が一致」、または「$D = A + C - B$」で一気に出せるんだ。

10. 7

    座標と図形の融合は、この「対角線の中点で結ぶ」が定石。放物線上に来るかどうかは、出た座標を式に代入して確かめれば OK。これが平行四辺形の点を求める使いどころだよ。