放物線の三角形を等積変形で二等分

$A$、$B$ は $y = x^2$ のグラフ上の点で、図より $A(-1, 1)$、$B(2, 4)$ である($1 = (-1)^2$、$4 = 2^2$)。直線 $AB$ と $y$ 軸の交点は $C(0, 2)$ である。

辺 $AB$ の中点を $M$ とすると $M\left(\frac{-1 + 2}{2}, \frac{1 + 4}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$

$\triangle OAM$ と $\triangle OBM$ は、底辺 $AM = MB$ で高さが共通なので面積が等しい。よって $\triangle OAM = \frac{1}{2} \triangle OAB$ ……①

直線 $OB$ は原点と $B(2, 4)$ を通るので、傾きは $\frac{4}{2} = 2$ で、式は $y = 2x$

$M$ を通り $OC$($y$ 軸)に平行な直線 $x = \frac{1}{2}$ と直線 $OB$ の交点を $Q$ とすると、$y = 2 \times \frac{1}{2} = 1$ より $Q\left(\frac{1}{2}, 1\right)$

$0 < \frac{1}{2} < 2$ なので、$Q$ は辺 $OB$ 上にある。

$MQ \parallel OC$ なので、$\triangle OCM$ と $\triangle OCQ$ は底辺 $OC$ が共通で高さが等しく、$\triangle OCM = \triangle OCQ$ ……②

$C$ は辺 $AB$ 上にあり、$x$ 座標が $-1 < 0 < \frac{1}{2}$ なので線分 $AM$ 上にある。よって $\triangle OAM = \triangle OAC + \triangle OCM$ ……③

①、②、③より、四角形 $OACQ = \triangle OAC + \triangle OCQ = \triangle OAC + \triangle OCM = \triangle OAM = \frac{1}{2} \triangle OAB$

よって直線 $CQ$ は $\triangle OAB$ の面積を二等分する。

(確かめ)$\triangle OAB$ を $OC$ で $\triangle OAC$ と $\triangle OCB$ に分けると $\triangle OAB = \frac{1}{2} \times OC \times \{2 - (-1)\} = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3$、四角形 $OACQ = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 + \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

直線 $CQ$ は $C(0, 2)$、$Q\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ を通るので、傾きは $\frac{1 - 2}{\frac{1}{2} - 0} = -2$ で、式は $y = -2x + 2$

答え 点 $C$ と、辺 $OB$ 上の点 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ を結ぶ直線($y = -2x + 2$)