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動点と面積のグラフ

動点と面積のグラフ全4問

① 考えてみよう

横6・縦2の長方形 ABCD だよ。この辺 AB の上を、点 P が A からゆっくり動いていくところを考えよう。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

① 考えてみよう
1
横6・縦2の長方形 ABCD だよ。この辺 AB の上を、点 P が A からゆっくり動いていくところを考えよう。
2
P が進むと三角形 ADP の面積はどう変わる? グラフにしたら、どんな形になりそう?
② 考え方
3
見るのは三角形 ADP の面積だよ。左の縦の辺 AD を底辺にして、頂点を P にする。いまは P が少し進んだところ。
4
面積は $\frac{1}{2} \times$ 底辺 $\times$ 高さ。底辺の $AD$ は2で変わらない。高さは $P$ が進んだ道のり $x$ 。だから面積は $\frac{1}{2} \times 2 \times x$ で、ぴったり $x$ になるんだ。
5
道のり $x$ と面積 $y$ の関係をグラフにしてみよう。横じくが道のり、縦じくが面積。いまの面積を緑の点でプロットするね。緑の点の高さが、そのまま三角形の面積だよ。
6
P を進めるよ。三角形が横に育つと、同じ道のりのところで緑の点もまっすぐ登っていく。面積の値が道のりと同じだから連動するんだ。
③ 解答
7
点が通ったあとをなぞってみると…まっすぐな線!面積が道のりに比例するから、グラフは原点を通る直線=一次関数 $y=x$ になったんだ。
8
動く点が作る面積も、道のりの関数として直線で表せる。図と面積グラフを行き来するのが、動点問題の使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

点 $P$ が $A$ から進んだ道のりを $x$ 、 $\triangle ADP$ の面積を $y$ とする。 $P$ は辺 $AB$ 上を動き、 $AB = 6$ なので $0 < x \leqq 6$

四角形 $ABCD$ は長方形なので $\angle DAP = 90^\circ$ である。よって辺 $AD$ を底辺とみると、高さは $AP = x$

$AD = 2$ なので $y = \frac{1}{2} \times AD \times AP = \frac{1}{2} \times 2 \times x = x$

$y = x$ は $y$ が $x$ に比例する式(比例定数 $1$ )なので、グラフは直線 $y = x$ のうち $0 < x \leqq 6$ の部分になる。

答え原点と点 $(6, 6)$ を結ぶ線分(原点は含まない。 $y = x$ 、 $0 < x \leqq 6$ )

減点されやすいポイント

式にする前に、底辺と高さのどちらが動くのかを答案に書いておこう。底辺の $AD = 2$ は変わらず、変わるのは高さ $AP$ の1つだけなので、面積は $x$ の1次式になるんだ。三角形の面積だから2乗で増えて曲線になると思いがちだけど、それは底辺と高さの両方がのびるときの話だよ。変域 $0 < x \leqq 6$ も忘れずに書こうね。

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