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中心角から円周角を求める

中心角から円周角を求める全3問

① 考えてみよう

円 $O$ の周上に3点 $A$ ・ $B$ ・ $P$ 。中心 $O$ からできる中心角は $\angle AOB=120^\circ$ だよ(緑)。このとき、 $P$ からできる円周角 $\angle APB$ (赤)は何度になるか、考えてみよう。

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① 考えてみよう
1
円 $O$ の周上に3点 $A$ ・ $B$ ・ $P$ 。中心 $O$ からできる中心角は $\angle AOB=120^\circ$ だよ(緑)。このとき、 $P$ からできる円周角 $\angle APB$ (赤)は何度になるか、考えてみよう。
2
円周角と中心角には、決まった大きさの関係があったね。同じ弧 $AB$ に立つ円周角 $\angle APB$ は、中心角 $\angle AOB$ の何倍かな?
② 考え方
3
円周角は中心角のちょうど半分。これが円周角の定理だね。だから $\angle APB = \dfrac12 \times \angle AOB = \dfrac12 \times 120^\circ$ を計算すればいいよ。
③ 解答
4
$\dfrac12 \times 120^\circ = 60^\circ$ 。だから円周角 $\angle APB = 60^\circ$ だよ。中心角がわかれば、円周角はその半分ですぐ求まる。
5
しかも $P$ を同じ弧の上でどこに動かしても、円周角はずっと $60^\circ$ 。もし $AB$ が円の直径(中心角 $180^\circ$ )なら、円周角は $90^\circ$ 。これがタレスの定理だよ。中心角と円周角の2倍の関係が、いろんな角度問題のカギになる。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

$\angle APB$ は点 $P$ を含まない方の弧 $AB$ に対する円周角で、 $\angle AOB$ はその弧に対する中心角である。

1つの弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分なので

$\angle APB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$

答え $\angle APB = 60^\circ$

減点されやすいポイント

中心角と円周角が「同じ弧」に対するものかを確かめてから半分にしよう。2倍と取りちがえて $240^\circ$ にするのが定番のまちがい。 $\angle APB$ は $\triangle APB$ の角なので $180^\circ$ を超えるはずがなく、見直しのきっかけになるよ。

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