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グラフの上下で大小を比べる

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グラフの上下で大小を比べる全4問

① 考えてみよう

指数関数 $y = 2^x$ だよ。 $x$ が1増えるごとに2倍、とぐんぐん立ち上がる曲線だね。これと直線 $y = x + 1$ の大小を、グラフで比べてみよう。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

① 考えてみよう
1
指数関数 $y = 2^x$ だよ。 $x$ が1増えるごとに2倍、とぐんぐん立ち上がる曲線だね。これと直線 $y = x + 1$ の大小を、グラフで比べてみよう。
2
$2^x$ と $x+1$ 、大きいのはどっち?グラフのどこを見ればわかるかな?予想してみよう。
② 考え方
3
直線 $y = x + 1$ を重ねるよ。2本はどこかで交わりそうだね。その交点を境に、上下=大小が入れ替わるはずだよ。
4
ぴったり交わるのは2か所。 $x=0$ では $2^0=1$ と $0+1=1$ で等しい。 $x=1$ でも $2^1=2$ と $1+1=2$ で等しい。交点は $(0, 1)$ と $(1, 2)$ だね。
5
2点の間( $0<x<1$ )では、直線のほうが上にあるね。だから $x+1 > 2^x$ 。指数の曲線が、2点を結ぶ直線(弦)より内側にへこむからなんだ。
6
逆に $x<0$ や $x>1$ では、曲線 $2^x$ のほうが上。だから $2^x > x+1$ 。とくに x が大きくなると、指数が直線をぐんぐん引き離していくよ。
③ 解答
7
だから $0<x<1$ では $x+1$ が大きく、その外では $2^x$ が大きい。大小は『どちらのグラフが上か』で読める。式どうしの大小をグラフの上下で見るのが使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

$y = 2^x$ と $y = x + 1$ のグラフの上下で、 $2^x$ と $x + 1$ の大小を比べる。

$x = 0$ のとき $2^0 = 1$ 、 $0 + 1 = 1$ で等しい。 $x = 1$ のとき $2^1 = 2$ 、 $1 + 1 = 2$ で等しい。

よって2つのグラフは点 $(0, 1)$ と点 $(1, 2)$ で交わる。 $y = 2^x$ は下に凸の曲線なので、グラフより、直線との交点はこの2つだけである。

交点と交点のあいだでは上下は入れかわらないので、区間ごとに1つの $x$ で比べればよい。

$0 < x < 1$ のとき、たとえば $x = \frac{1}{2}$ で $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ で、 $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} > 2$ より $\sqrt{2} < \frac{3}{2}$ なので、直線が上にあり $x + 1 > 2^x$

$x > 1$ のとき、たとえば $x = 2$ で $2^2 = 4 > 3$ なので、曲線が上にあり $2^x > x + 1$

$x < 0$ のとき、たとえば $x = -1$ で $2^{-1} = \frac{1}{2} > 0$ なので、曲線が上にあり $2^x > x + 1$

答え境は $x = 0$ と $x = 1$ 。 $0 < x < 1$ では $x + 1 > 2^x$ 、 $x < 0$ と $x > 1$ では $2^x > x + 1$ (境では等しい)

減点されやすいポイント

交点は $x = 0$ だけでなく $x = 1$ でも $2 = 2$ となるので、代入して2つとも示そう。「指数はいつでも直線より大きい」と思いこむと、 $x = \frac{1}{2}$ で $\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41 < 1.5$ となる区間を見落としてしまうよ。交点で区間を分けて、各区間で1つずつ値を代入して確かめるのが答案のコツだね。

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