グラフの上下で大小を比べる

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   指数関数 $y = 2^x$ だよ。$x$ が1増えるごとに2倍、とぐんぐん立ち上がる曲線だね。これと直線 $y = x + 1$ の大小を、グラフで比べてみよう。

3. 2

   $2^x$ と $x+1$、大きいのはどっち?グラフのどこを見ればわかるかな?予想してみよう。

4. ② 考え方
5. 3

   直線 $y = x + 1$ を重ねるよ。2本はどこかで交わりそうだね。その交点を境に、上下=大小が入れ替わるはずだよ。

6. 4

   ぴったり交わるのは2か所。$x=0$ では $2^0=1$ と $0+1=1$ で等しい。$x=1$ でも $2^1=2$ と $1+1=2$ で等しい。交点は $(0, 1)$ と $(1, 2)$ だね。

7. 5

   2点の間($0<x<1$)では、直線のほうが上にあるね。だから $x+1 > 2^x$。指数の曲線が、2点を結ぶ直線(弦)より内側にへこむからなんだ。

8. 6

   逆に $x<0$ や $x>1$ では、曲線 $2^x$ のほうが上。だから $2^x > x+1$。とくに x が大きくなると、指数が直線をぐんぐん引き離していくよ。

9. ③ 解答
10. 7

    だから $0<x<1$ では $x+1$ が大きく、その外では $2^x$ が大きい。大小は『どちらのグラフが上か』で読める。式どうしの大小をグラフの上下で見るのが使いどころだよ。