面積差で式の値を出す

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   $51^2-49^2$ のような「2乗の引き算」、まともに計算すると大変。図で考えよう。一辺 $x$ の正方形の面積は $x^2$ だね(図は $x=8$、$y=3$ で見ているよ)。

3. 2

   右上から一辺 $y$ の正方形 $y^2$ を切り取ると、残りが $x^2-y^2$。このL字をうまく使うと $51^2-49^2$ が一瞬で出せるんだ。値はいくつになると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   残りはL字の形。これを2つのタイルに切り分けよう。下の大きいタイル $A$ と、左上の細いタイル $B$ だよ。

6. 4

   上のタイル $B$ は縦 $y$・横 $x-y$。$90^\circ$ 回すと 縦 $x-y$・横 $y$ になって、$A$ の右どなり(高さがそろう)にぴたっと並ぶよ。同じ色=同じ部品で1つの長方形になったね。

7. 5

   2枚を合わせると、横 $x+y$・縦 $x-y$ の長方形。面積は $(x+y)(x-y)$。切る前の $x^2-y^2$ と同じ面積だから、$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ だよ。

8. ③ 解答
9. 6

   最初の問題に戻ろう。$51^2-49^2$ も、2乗をそれぞれ計算せず $(51+49)(51-49)=100\times2=200$。引き算は形に直すと一瞬だね。

10. 7

    $x^2-y^2$ を見たら $(x+y)(x-y)$ に組み替える。代入せずに形で式の値を出す、これが展開・因数分解の使いどころだよ。