内接四角形で余弦定理を2回使う

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   円に内接する四角形ABCD。4辺は5,3,5,8。対角線BDを求めよう。

3. 2

   対角線 BD を1本引くと、四角形が三角形2つに分かれるよね。同じ BD を2通りで表すと何が見えるかな?「円に内接」もきっと効いてくるよ。

4. ② 考え方
5. 3

   BDを引くと△ABDと△CBDに分かれる。どちらでも余弦定理が使えるよ。

6. 4

   △ABDで $BD^2 = 5^2+8^2 - 2\cdot5\cdot8\cdot\cos A = 89 - 80\cos A$。

7. 5

   △CBDで $BD^2 = 3^2+5^2 - 2\cdot3\cdot5\cdot\cos C = 34 - 30\cos C$。

8. 6

   鍵は内接四角形。向かい合う角の和は180°だから $\angle C = 180^\circ - \angle A$。補角どうしは余弦の符号が逆になるので $\cos C = -\cos A$、符号が反転するんだ。

9. ③ 解答
10. 7

    等しいとおくと $89 - 80\cos A = 34 + 30\cos A$ → $\cos A = 1/2$。$BD^2 = 49$、$BD = 7$!