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内接四角形で余弦定理を2回使う

📖 言葉で読む:余弦定理 →
内接四角形で余弦定理を2回使う全3問
ABCD5358
① 考えてみよう

円に内接する四角形ABCD。4辺は5,3,5,8。対角線BDを求めよう。

テキストで読む

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    円に内接する四角形ABCD。4辺は5,3,5,8。対角線BDを求めよう。

  3. 2

    対角線 BD を1本引くと、四角形が三角形2つに分かれるよね。同じ BD を2通りで表すと何が見えるかな?「円に内接」もきっと効いてくるよ。

  4. ② 考え方
  5. 3

    BDを引くと△ABDと△CBDに分かれる。どちらでも余弦定理が使えるよ。

  6. 4

    △ABDで BD2=52+82−2⋅5⋅8⋅cos⁡A=89−80cos⁡ABD^2 = 5^2+8^2 - 2\cdot5\cdot8\cdot\cos A = 89 - 80\cos A。

  7. 5

    △CBDで BD2=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡C=34−30cos⁡CBD^2 = 3^2+5^2 - 2\cdot3\cdot5\cdot\cos C = 34 - 30\cos C。

  8. 6

    鍵は内接四角形。向かい合う角の和は180°だから ∠C=180∘−∠A\angle C = 180^\circ - \angle A。補角どうしは余弦の符号が逆になるので cos⁡C=−cos⁡A\cos C = -\cos A、符号が反転するんだ。

  9. ③ 解答
  10. 7

    等しいとおくと 89−80cos⁡A=34+30cos⁡A89 - 80\cos A = 34 + 30\cos A → cos⁡A=1/2\cos A = 1/2。BD2=49BD^2 = 49、BD=7BD = 7!

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

AB=5AB = 5、DA=8DA = 8 なので、△ABD\triangle ABD で余弦定理より BD2=52+82−2⋅5⋅8cos⁡A=89−80cos⁡ABD^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cos A = 89 - 80\cos A ……①

BC=3BC = 3、CD=5CD = 5 なので、△CBD\triangle CBD で余弦定理より BD2=32+52−2⋅3⋅5cos⁡C=34−30cos⁡CBD^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos C = 34 - 30\cos C ……②

円に内接する四角形の対角の和は 180∘180^\circ なので ∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ。よって cos⁡C=cos⁡(180∘−A)=−cos⁡A\cos C = \cos(180^\circ - A) = -\cos A ……③

②、③より BD2=34+30cos⁡ABD^2 = 34 + 30\cos A ……④

①、④より 89−80cos⁡A=34+30cos⁡A89 - 80\cos A = 34 + 30\cos A

110cos⁡A=55110\cos A = 55 より cos⁡A=12\cos A = \frac{1}{2}

①に代入して BD2=89−80×12=49BD^2 = 89 - 80 \times \frac{1}{2} = 49

BD>0BD > 0 より BD=7BD = 7

答え BD=7BD = 7

減点されやすいポイント

2つの式をつなぐ根拠「円に内接するので A+C=180∘A + C = 180^\circ」と、そこから出る cos⁡C=−cos⁡A\cos C = -\cos A は必ず書こう。ここで cos⁡C=cos⁡A\cos C = \cos A としてしまうと、cos⁡A=1110\cos A = \frac{11}{10} という1より大きい値が出て行きづまるよ。直角だと決めつけて三平方で 34\sqrt{34} や 89\sqrt{89} とするのも定番のまちがい。

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