空間で余弦定理 ― 四面体の1面の面積

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   四面体の、手前の1つの面に注目するよ。3つの辺の長さが 3・5・7 とわかっているとき、この面(三角形)の面積を求めてみよう。

3. 2

   面積には「底辺と高さ」がいるね。でも辺の長さだけでは高さがわからない。まず角を1つ求めれば、高さは三角比で出せそうだよ。

4. ② 考え方
5. 3

   立体のままだと考えにくいので、その面だけ平面に取り出すよ。3辺 3・5・7 がそろった三角形だ。3辺がわかれば、余弦定理で角が求められるね。

6. 4

   いちばん長い辺7の向かいの角 $C$ を余弦定理で。$\cos C = \dfrac{3^2+5^2-7^2}{2\cdot3\cdot5} = \dfrac{-15}{30} = -\dfrac12$。$\cos$ がマイナス=鈍角で、$C = 120^\circ$ だ。

7. ③ 解答
8. 5

   角がわかれば高さが出る。底辺を3とすると、高さは「5の辺」を傾けたぶん $5\sin 120^\circ$(三角比の定義だね)。だから $S = \dfrac12 \times 3 \times 5\sin 120^\circ = \dfrac{15\sqrt3}{4}$。これがこの面の面積だよ。

9. 6

   見つけるコツ: 空間の問題も「必要な三角形を取り出して平面で解く」。3辺→余弦定理で角→高さ(辺×$\sin$)→面積、の順だよ。立体を怖がらず、1面ずつ平らにして攻めよう。