座標平面上の三角形の面積

3点 $O(0, 0)$、$A(4, 1)$、$B(1, 3)$ の $x$ 座標は $0$ から $4$、$y$ 座標は $0$ から $3$ の範囲にある。

$P(4, 0)$、$Q(4, 3)$、$R(0, 3)$ とし、長方形 $OPQR$ で $\triangle OAB$ を囲む。$A$ は辺 $PQ$ 上、$B$ は辺 $QR$ 上にある。

長方形 $OPQR$ の面積は $4 \times 3 = 12$ ……①

長方形の角なので $\angle OPA = 90^\circ$。$OP = 4$、$PA = 1$ より $\triangle OPA = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$

長方形の角なので $\angle AQB = 90^\circ$。$AQ = 3 - 1 = 2$、$QB = 4 - 1 = 3$ より $\triangle AQB = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3$

長方形の角なので $\angle BRO = 90^\circ$。$RB = 1$、$RO = 3$ より $\triangle BRO = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = 1.5$

3つの直角三角形の面積の和は $2 + 3 + 1.5 = 6.5$ ……②

$\triangle OAB$ は長方形 $OPQR$ から3つの直角三角形を除いた部分なので、①、②より $12 - 6.5 = 5.5$

答え $5.5$