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等しい角から4点が同一円周上(円周角の逆)

等しい角から4点が同一円周上(円周角の逆)全3問

① 考えてみよう

4つの点 A・B・P・Q があるよ。P から見ても Q から見ても、線分 AB を同じ側から見込んでいて、 $\angle APB = \angle AQB = 50^\circ$ 。この4点は1つの円周上にあると言えるかな?

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

① 考えてみよう
1
4つの点 A・B・P・Q があるよ。P から見ても Q から見ても、線分 AB を同じ側から見込んでいて、 $\angle APB = \angle AQB = 50^\circ$ 。この4点は1つの円周上にあると言えるかな?
2
円周角の定理は「円があれば、同じ弧を見こむ角はどこでも等しい」だったね。じゃあ逆に、見こむ角が等しいだけで、4点が同じ円の上に乗ると言い切れるかな?
② 考え方
3
確かめると、P と Q はどちらも線分 AB の同じ側(上)にあって、AB を見こむ角がぴったり等しい(どちらも 50°)。この「同じ側で等しい」がカギになるよ。
4
さっきの「円があれば同じ弧の角は等しい」をちょうど裏返したのが円周角の定理の逆。AB の同じ側で AB を見こむ角が等しい2点 P・Q は、AB を弦とする1つの円の上に乗るんだ。
③ 解答
5
だから答えは「乗る」。A・B を通り、P も Q も通る円がちゃんと存在するよ。隠れていた円を出してみよう。ほら、4点ぴったり同じ円周上に並んだ!
6
図の中に「同じ弦を同じ側から見こむ等しい角」を見つけたら、「この4点、同じ円周上かも?」と疑うのが逆の使いどころ。円が隠れていることに気づけると一気に解けるよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

仮定より、2点 $P$ 、 $Q$ は直線 $AB$ について同じ側にある。

また、仮定より $\angle APB = \angle AQB = 50^\circ$

円周角の定理の逆より、4点 $A$ 、 $B$ 、 $P$ 、 $Q$ は1つの円周上にある。

答え言える(4点 $A$ 、 $B$ 、 $P$ 、 $Q$ は1つの円周上にある)

減点されやすいポイント

円周角の定理の逆が使えるのは、 $P$ と $Q$ が直線 $AB$ について同じ側にあるときだけ。この条件を書き落とすと減点されやすいので、角が等しいことと合わせて必ず書こう。根拠の名前も「円周角の定理」ではなく「円周角の定理の逆」だよ。

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