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3点が正三角形になる条件

📖 言葉で読む:ド・モアブルの定理 →複素数の積(回転と拡大) →
3点が正三角形になる条件全2問
z₁z₂z₃
① 考えてみよう

3つの点 z1z2z3z_1 z_2 z_3 が正三角形をつくっているよ。3辺の長さはどれも同じ(同じ色)だね。この関係を複素数の式で書けるかな?

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    3つの点 z1z2z3z_1 z_2 z_3 が正三角形をつくっているよ。3辺の長さはどれも同じ(同じ色)だね。この関係を複素数の式で書けるかな?

  3. 2

    1辺 z1z2z_1z_2 を頂点 z1z_1 のまわりに回すと、もう1辺 z1z3z_1z_3 にぴったり重なるはず。z3−z1z_3 - z_1 はどんな式になると思う?

  4. ② 考え方
  5. 3

    ぴったり 60° 回すと、z1z2z_1z_2 が z1z3z_1z_3 にぴったり重なった! 正三角形だから、頂点の角はぜんぶ 60° だね。

  6. ③ 解答
  7. 4

    「60° 回す」は複素数だと ×(cos⁡60∘+isin⁡60∘)\times(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ)。だから z3−z1=(z2−z1)(cos⁡60∘+isin⁡60∘)z_3 - z_1 = (z_2 - z_1)(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ)。逆にこの式が成り立てば正三角形と判定できるよ。

  8. 5

    ただし回す向きが逆(時計回り)の正三角形なら −60°。cos の項はそのままで、i sin の項だけマイナスになるよ。どっち回りかで ±\pm が決まるんだ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

図のように、z1z_1、z2z_2、z3z_3 は反時計回りに並ぶ正三角形の頂点とする。

正三角形なので、辺 z1z2z_1z_2 と辺 z1z3z_1z_3 の長さは等しく ∣z3−z1∣=∣z2−z1∣|z_3 - z_1| = |z_2 - z_1| ……①

また頂点 z1z_1 の内角は 60∘60^\circ なので、z2−z1z_2 - z_1 の向きから反時計回りに 60∘60^\circ 回すと z3−z1z_3 - z_1 の向きになる。……②

cos⁡60∘+isin⁡60∘\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ は絶対値 11、偏角 60∘60^\circ の複素数なので、これをかけると、絶対値は変わらず偏角が 60∘60^\circ 増える。すなわち原点のまわりの 60∘60^\circ 回転である。

①、②より、z3−z1z_3 - z_1 は z2−z1z_2 - z_1 を原点のまわりに 60∘60^\circ 回転したものなので z3−z1=(z2−z1)(cos⁡60∘+isin⁡60∘)z_3 - z_1 = (z_2 - z_1)(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ)

逆にこの式が成り立てば、①、②が成り立つ。このとき三角形は2辺が等しい二等辺三角形で頂角が 60∘60^\circ なので、底角もそれぞれ 60∘60^\circ となり、3点は正三角形をつくる。

答え z3−z1=(z2−z1)(cos⁡60∘+isin⁡60∘)z_3 - z_1 = (z_2 - z_1)(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ)(時計回りに並ぶときは cos⁡60∘−isin⁡60∘\cos 60^\circ - i\sin 60^\circ)

減点されやすいポイント

「z1z_1 を引いて(頂点 z1z_1 を原点に移して)、60∘60^\circ 回す」の形で書くのがポイントだよ。z1z_1 を引かずに z2(cos⁡60∘+isin⁡60∘)z_2(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ) とすると原点のまわりの回転になり、z1=0z_1 = 0 のときにしか合わないね。回す角は頂点の内角の 60∘60^\circ で、半分の 30∘30^\circ や外角の 120∘120^\circ にすると、z3z_3 とは別の点に行ってしまうよ。

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