3点が正三角形になる条件

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   3つの点 $z_1 z_2 z_3$ が正三角形をつくっているよ。3辺の長さはどれも同じ(同じ色)だね。この関係を複素数の式で書けるかな?

3. 2

   1辺 $z_1z_2$ を頂点 $z_1$ のまわりに回すと、もう1辺 $z_1z_3$ にぴったり重なるはず。$z_3 - z_1$ はどんな式になると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   ぴったり 60° 回すと、$z_1z_2$ が $z_1z_3$ にぴったり重なった! 正三角形だから、頂点の角はぜんぶ 60° だね。

6. ③ 解答
7. 4

   「60° 回す」は複素数だと $\times(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ)$。だから $z_3 - z_1 = (z_2 - z_1)(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ)$。逆にこの式が成り立てば正三角形と判定できるよ。

8. 5

   ただし回す向きが逆(時計回り)の正三角形なら −60°。cos の項はそのままで、i sin の項だけマイナスになるよ。どっち回りかで $\pm$ が決まるんだ。