常用対数で桁数を読む

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   $2^{100}$、つまり $2$ を100回かけた数は、書き出すと何桁になると思う?ぜんぶ計算しなくても、10のべき(下の目盛り)を物差しにすれば桁数を読めるんだ。

3. 2

   コツは「10の何乗か」に直すこと。それを測るのが常用対数 $\log_{10}$ だよ。ここでは $\log_{10}2=0.3010$ を使っていい。さあ、$2^{100}$ は10の何乗くらいになるかな?桁数の予想もしてみて。

4. ② 考え方
5. 3

   まず桁のしくみ。$10^{30}$ は1のあとに0が30個ならぶから31桁。一般に $10^{k}$ 以上 $10^{k+1}$ 未満の整数は、ちょうど $(k+1)$ 桁になるんだ。

6. 4

   $2^{100}$ は $2$ を100回かけた数。かけ算は $\log$ をとると足し算に変わるから、$\log_{10}2^{100}$ は $\log_{10}2$ を100個たした数、つまり $100\log_{10}2$ になるんだ。

7. 5

   あとは値を入れるだけ。$100\log_{10}2=100\times0.3010=30.10$。つまり $2^{100}=10^{30.10}$、10の30.10乗だね。

8. 6

   30.10 は 30 と 31 の間。だから $10^{30}\le 2^{100}<10^{31}$。この帯(=31桁の数がすむ場所)に $2^{100}$ が入る。さっきのしくみで、桁数は $30+1=31$ 桁だよ。

9. ③ 解答
10. 7

    答え: $2^{100}$ は 31桁。コツは「桁数 = $\log_{10}$(その数)の整数部分 +1」。大きな数も、対数で10のべきに直せば、目盛りの位置から桁が一発で読めるね。

11. 8

    おまけ(最高位): 指数の小数部分 0.10 は $\log_{10}2=0.301$ より小さい。$10^0\le 10^{0.10}<2$ だから、先頭の数字は1だとわかるよ。