指数関数と対数関数(逆関数)(定理辞典)

主張

対数 $\log_a x$ は「 $a$ を何乗したら $x$ になるか」を表す数で、指数関数 $a^x$ の逆。だから $y=a^x \iff x=\log_a y$ で、 $a^{\log_a x}=x$ ( $x>0$ )・ $\log_a(a^x)=x$ が成り立つよ。 $y=a^x$ と $y=\log_a x$ のグラフは直線 $y=x$ に関して対称(鏡像)で、指数は必ず $(0,1)$ を、対数は必ず $(1,0)$ を通る。

y=a^x \iff x=\log_a y\quad(a>0,\ a\ne1,\ y>0)

a=2

の例。緑の指数

y=2^x

と赤の対数

y=\log_2 x

は、紫の鏡

y=x

で折り返すとぴったり重なる。

成り立つ条件

底 $a$ は $a>0$ かつ $a\ne1$ ( $a=1$ だと $1^x$ がずっと $1$ で逆がとれない)。対数の真数は $x>0$ 。正の数しか対数はとれない(指数 $a^x$ がいつも正だから、その逆の入力も正だけ)。

なぜそう決まる?

「 $a$ を何乗?」という逆向きの問いが対数、という定義から出発し、逆関数のグラフが $y=x$ に関して対称になる理由を確かめる。

1
指数関数 $y=a^x$ は「 $a$ を $x$ 乗した値」。これを逆に見て『値 $y$ から指数 $x$ を読む』関数が対数 $x=\log_a y$ 。定義そのものが $y=a^x \iff x=\log_a y$ だね。
2
点 $(p,q)$ が $y=a^x$ 上にある $\iff q=a^p \iff p=\log_a q \iff$ 点 $(q,p)$ が $y=\log_a x$ 上にある。 $x$ と $y$ を入れかえた点 $(q,p)$ は $(p,q)$ を $y=x$ で折り返した鏡像だから、 $2$ 本のグラフは $y=x$ に関して対称。
3
アンカーで確かめよう。 $a^0=1$ だから $y=a^x$ は必ず $(0,1)$ を通る。鏡像で $(1,0)$ に移るので $y=\log_a x$ は必ず $(1,0)$ を通る(= $\log_a 1=0$ )。底 $a$ をどう変えても、この $2$ 点は動かない。

逆

「逆関数」の関係は双方向。 $a^x$ の逆が $\log_a x$ であると同時に、 $\log_a x$ の逆が $a^x$ 。だから $2$ 回逆をとると元にもどる( $a^{\log_a x}=x$ と $\log_a(a^x)=x$ の両方)。グラフを $y=x$ で折り返すと、指数と対数がぴったり重なるのも同じこと。

補足・つまずきポイント

計算法則 $\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$ は、この逆関数の関係と指数法則 $a^p a^q=a^{p+q}$ を裏返したもの。「掛け算が足し算に化ける」のが対数の値打ちだね。底 $a>1$ なら指数も対数も増加、 $0<a<1$ なら減少。グラフが鏡像なので、片方の特徴(通る点・増減・漸近線)は $x$ と $y$ を入れかえてもう一方に移る。

見て確かめる

言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。

指数関数と対数関数

使いどころ

この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。

指数関数と対数関数(逆関数)

📐 主張

✅ 成り立つ条件

📝 なぜそう決まる?

🔄 逆

💭 補足・つまずきポイント

🔭 見て確かめる

💡 使いどころ

主張

成り立つ条件

なぜそう決まる?

逆

補足・つまずきポイント

見て確かめる

使いどころ