2つの放物線で囲む面積(1/6公式の一般形)

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   2つの放物線、下の曲線が $y = x^2$、上の曲線が $y = 4x - x^2$ だよ。この2つで囲まれた葉っぱのような形の面積を求めたいんだ。今度は直線がなくて、両方とも曲線だね。

3. 2

   曲線と曲線で挟まれた面積。放物線と直線のときと同じ作戦は使えるかな?面積はいくつになると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   まず囲む範囲。連立 $x^2 = 4x - x^2$ を整理すると $2x^2 - 4x = 0$、$2x(x-2)=0$。交点は A(0, 0) と B(2, 4) だね。

6. 4

   コツは放物線と直線のときと同じ「縦のすき間」。各 $x$ で上−下を引くと $(4x-x^2)-x^2 = 4x-2x^2$。これを $g(x)$ と呼ぶよ。曲線どうしでも、引き算すれば1本の関数になるんだ。

7. 5

   $g(x)$ を1本のグラフにすると、x軸の上にのった山($x=0$・$x=2$ で0)。この山の下の面積が、さっきの葉っぱの面積と同じだよ。あとは区分求積で測れるね。

8. 6

   短冊1本でざっくり覆うと面積は 4。山より大きいね。ここから本数を増やして、はみ出しを削っていくよ。

9. 7

   4本に分けると 2.75。短冊を細くするほど、はみ出していた角が小さくなって、山にぴったり近づくね。

10. 8

    16本では約2.67。本数を限りなく増やした先の値が、ほんとうの面積。約2.67、つまり 8/3 だよ。

11. ③ 解答
12. 9

    じつは放物線で囲む面積には「1/6公式」という近道があるんだ。差 $g = 4x-2x^2$ は $x^2$ の係数が −2 だから、$S = \dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3 = \dfrac{2}{6}(2-0)^3 = \dfrac{8}{3}$。短冊を増やした先とぴったり一致するね!

13. 10

    見つけるコツ: 2曲線でも「上−下」を引けば1本の放物線になり、$x^2$ の係数 $a$ を読むだけ。直線でも放物線どうしでも、1/6公式は $\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$ で統一できるよ。