← 定理辞典📖 定理辞典

積分・面積(区分求積)

区分求積法(定積分と面積)

曲線 y=f(x)y=f(x) と xx 軸で囲む面積を、細い長方形(短冊)の和で近似し、短冊を限りなく細くした極限が定積分 ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx。和を積分に直す道具が区分求積法。

主張

曲線でふちどられた図形の面積は、四角形の公式ではそのまま出せないよね。そこで、区間 [a,b][a,b] を細かく分けて、各小区間に高さ f(xk)f(x_k)・はば Δx\Delta x の長方形(短冊)を立て、その面積を全部足して近似する。短冊を細くする(本数 nn を増やす)ほど階段のギザギザが曲線にぴったり沿っていき、和は 11 つの値に近づく。この極限を定積分 ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx と定め、f(x)≥0f(x)\ge0 なら曲線の下の面積に一致するんだ。とくに [0,1][0,1] を nn 等分した形 1n∑f ⁣(kn)\dfrac1n\sum f\!\left(\dfrac{k}{n}\right) は、n→∞n\to\infty で ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\,dx になる。「和(シグマ)を積分に化けさせる」この変形が区分求積法だよ。

∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑k=1nf(xk) Δx(Δx=b−an)lim⁡n→∞1n∑k=1nf ⁣(kn)=∫01f(x) dx\begin{gathered}\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\,\Delta x\quad\Bigl(\Delta x=\tfrac{b-a}{n}\Bigr)\\[6pt]\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx\end{gathered}
区間を分けて短冊(長方形)を立て、面積を近似する。短冊を限りなく細くした和の極限が定積分=曲線の下の面積だよ。

成り立つ条件

ff が区間 [a,b][a,b] で連続(つながっている)ならこの極限は確定し、短冊の高さを左端でとっても右端でとっても中点でとっても、同じ値に収束する。f(x)≥0f(x)\ge0 のときその値が「曲線と xx 軸で囲む面積」に等しい(ff が負の部分は符号つきの面積として引かれる)。前提は極限(近づく先を読む)と数列の和 ∑\sum だよ。

なぜそう決まる?

区間を nn 等分して短冊の和を作り、本数を増やすと階段が曲線に近づくこと、その極限を定積分と定めることを順にたどる。

  1. 1

    区間 [a,b][a,b] を nn 等分し、各小区間(はば Δx=b−an\Delta x=\tfrac{b-a}{n})に高さ f(xk)f(x_k) の短冊を立てる。短冊の面積を全部足したものが、面積のいちばん素朴な近似だよ。

    Sn=∑k=1nf(xk) ΔxS_n=\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\,\Delta x
  2. 2

    短冊を細くする(nn を増やす)ほど、はみ出しや足りない三角の部分が小さくなって、階段の輪郭が曲線にぴったり沿っていく。近似 SnS_n は本物の面積へ少しずつ近づく。

    n 大 ⟹ Δx 小 ⟹ Sn→(面積)n\ \text{大}\ \Longrightarrow\ \Delta x\ \text{小}\ \Longrightarrow\ S_n\to(\text{面積})
  3. 3

    この「短冊の和の極限」を定積分 ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx と定める。f(x)≥0f(x)\ge0 なら、それが曲線 y=f(x)y=f(x) と xx 軸で囲む面積そのものだね。

    ∫abf(x) dx=lim⁡n→∞Sn\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}S_n
  4. 4

    とくに [0,1][0,1] を nn 等分すれば Δx=1n\Delta x=\tfrac1n、xk=knx_k=\tfrac{k}{n} だから、よく出る形 1n∑f ⁣(kn)\dfrac1n\sum f\!\left(\dfrac{k}{n}\right) がそのまま ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\,dx になる。和を積分に直す。これが区分求積法、というわけだね。

    lim⁡n→∞1n∑k=1nf ⁣(kn)=∫01f(x) dx\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx

逆

毎回この極限を計算するのは大変。そこを救うのが微分積分学の基本定理で、「F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) となる原始関数 FF を見つければ、定積分は ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) で求まる」。つまり面積(積分)と接線の傾き(微分)はちょうど逆向きの操作。区分求積法が積分の「定義(意味)」を、基本定理がその「計算法」を与える、と役割を分けて押さえるといいよ。

補足・つまずきポイント

つまずきの定番は、短冊の高さをどこでとるか(左端・右端・中点)で近似値が変わること。有限の nn では上振れ・下振れするけれど、n→∞n\to\infty の行き先は同じなので、極限としての面積は一通りに決まる。もうひとつ、1n∑f ⁣(kn)\dfrac1n\sum f\!\left(\dfrac{k}{n}\right) を見たら「これは区分求積=積分に化ける」と気づけること。1n\dfrac1n がはば Δx\Delta x、kn\dfrac{k}{n} が分点 xkx_k の役だと対応づけよう。和の公式(∑k\sum k、∑k2\sum k^2 など)で ∑\sum を直接計算してから極限をとっても、同じ答えにたどり着くよ。

関連する定理

見て確かめる

言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。

使いどころ

この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。