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積分・面積(区分求積)

回転体の体積(ディスク法)

曲線 y=f(x)y=f(x) を xx 軸まわりに回した立体の体積は、断面(半径 f(x)f(x) の円)の面積 π{f(x)}2\pi\{f(x)\}^2 を積み上げた V=π∫ab{f(x)}2 dxV=\pi\displaystyle\int_a^b\{f(x)\}^2\,dx。面積の区分求積を、立体に拡張したもの。

主張

曲線 y=f(x)y=f(x)(x∈[a,b]x\in[a,b]、f(x)≥0f(x)\ge0)を xx 軸のまわりに 11 回転させると、ラッパや器のような立体ができるよ。この体積は、立体を xx 軸に垂直に薄く輪切りにして考える。xx の位置での断面はちょうど半径 f(x)f(x) の円で、面積は π{f(x)}2\pi\{f(x)\}^2。これに厚さ Δx\Delta x をかけた薄い円板(短い円柱)を aa から bb まで積み上げ、円板を限りなく薄くした極限が体積だよ。式にすると V=π∫ab{f(x)}2 dxV=\pi\int_a^b\{f(x)\}^2\,dx。これは「面積=短冊の和(区分求積)」の立体版で、短冊のかわりに円板を積むんだ。yy 軸まわりに回すときは xx と yy の役を入れかえて V=π∫cd{g(y)}2 dyV=\pi\int_c^d\{g(y)\}^2\,dy になる。

V=lim⁡n→∞∑k=1nπ{f(xk)}2 Δx=π∫ab{f(x)}2 dx(例) y=x, [0,4]:V=π∫04x dx=π[x22]04=8π\begin{gathered}V=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\pi\{f(x_k)\}^2\,\Delta x=\pi\int_a^b\{f(x)\}^2\,dx\\[6pt]\text{(例)}\ y=\sqrt{x},\ [0,4]:\quad V=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_0^4=8\pi\end{gathered}
x
曲線を軸のまわりに回した立体を、薄い円板に切り分ける。断面の円の面積 π{f(x)}2\pi\{f(x)\}^2 を積み上げた極限が体積だよ。

成り立つ条件

ff が [a,b][a,b] で連続で、回転軸(xx 軸)と曲線で囲まれた部分を回すこと。断面が円になるのは「軸のまわりに回す」からで、半径は軸から曲線までの距離 f(x)f(x)。前提は区分求積(積分)と円の面積 πr2\pi r^2。軸から離れた図形を回してドーナツ状になる場合や、yy 軸まわりの回転は、断面の取り方を変えて同じ発想で立式するよ。

証明(なぜ成り立つ?)

立体を軸に垂直な薄い円板に分け、11 枚の体積(円の面積 ×\times 厚さ)を求める。全部足して円板を限りなく薄くすると、断面積 π{f(x)}2\pi\{f(x)\}^2 の区分求積=定積分になる。

  1. 1

    立体を xx 軸に垂直に薄く輪切りにすると、位置 xx での切り口は半径 f(x)f(x) の円。厚さ Δx\Delta x の薄い円板(11 枚)の体積は「円の面積 ×\times 厚さ」だね。

    ΔVk=π{f(xk)}2 Δx\Delta V_k=\pi\{f(x_k)\}^2\,\Delta x
  2. 2

    円板を aa から bb まで積み重ねて全部足すと、体積の近似になる。これは関数 π{f(x)}2\pi\{f(x)\}^2(各 xx での断面積)を短冊にした、区分求積の形そのものだよ。

    V≈∑k=1nπ{f(xk)}2 ΔxV\approx\sum_{k=1}^{n}\pi\{f(x_k)\}^2\,\Delta x
  3. 3

    円板を限りなく薄くする(n→∞n\to\infty)と、段差のでこぼこが消えて真の体積に近づく。この極限が定積分=断面積を aa から bb まで積分したものだね。

    V=π∫ab{f(x)}2 dxV=\pi\int_a^b\{f(x)\}^2\,dx
  4. 4

    たとえば y=xy=\sqrt{x} を [0,4][0,4] で回すと、断面積は π(x)2=πx\pi(\sqrt{x})^2=\pi x。積分すると体積が出る。半径の 22 乗を積分する、という手順を確かめておこう。

    V=π∫04x dx=π[x22]04=8πV=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_0^4=8\pi

逆

回転体に限らず、立体を 11 方向に輪切りにして断面積 A(x)A(x) がわかれば、体積は V=∫abA(x) dxV=\int_a^b A(x)\,dx で求まる(断面積分・カヴァリエリの原理の考え方)。回転体はその特別な場合で、断面積が円 A(x)=π{f(x)}2A(x)=\pi\{f(x)\}^2 になっているだけ。だから「半径の 22 乗を積分」は、より一般の「断面積を積分」の一例だと見ると見通しがいいよ。

補足・つまずきポイント

つまずきの定番は半径を 22 乗し忘れること。断面は円なので面積は π×(半径)2\pi\times(\text{半径})^2、積分するのは f(x)f(x) ではなく {f(x)}2\{f(x)\}^2。もうひとつ、回す軸をまちがえないこと。xx 軸まわりなら dxdx で積分、yy 軸まわりなら曲線を x=g(y)x=g(y) の形に直して dydy で積分する。中央にすき間があく(ドーナツ状の)立体は、外側の円から内側の円を引いて π({f}2−{g}2)\pi\bigl(\{f\}^2-\{g\}^2\bigr) を積む。π\pi は定数だから積分の外に出してかまわないよ。

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