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回転体の体積(円板の積み重ね)

曲線を軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を、うすい円板をたくさん積み重ねて近づけてみよう。円板をふやすと、体積の合計はどこへ向かうだろう。

これは曲線 $y=\sqrt{x}$ 。横にのびる x 軸(回転軸)のまわりに、くるっと1回転させたら、どんな立体になると思う?

円板の枚数 n = 1

これだけ思い出そう

「積分・面積(区分求積)」で、曲線の下の面積を細い長方形の和で近づけたね。今回はその立体版で、回転体を円板(うすい円柱)の積み重ねと見て体積にせまるよ。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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これは曲線 $y=\sqrt{x}$ 。横にのびる x 軸(回転軸)のまわりに、くるっと1回転させたら、どんな立体になると思う?
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1回転させると、ラッパみたいな立体になる。まずは太さ一定の円板(厚い円柱)1枚でざっくり覆うと、体積は約50.3。ぶかぶかだね。
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2枚に分けると、太い円板と細い円板の段々になった。体積は約37.7。さっきよりラッパの形に近づいたね。
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4枚で約31.4。円板を薄くするほど、段差のでこぼこが小さくなっていくのがわかる?
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8枚で約28.3。ギザギザがどんどん目立たなくなって、もう本物のラッパにそっくりだ。
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16枚では約26.7。枚数を限りなく増やした先の値、約25.1(=8π)が、ほんとうの体積。これが回転体の積分だよ。
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円板1枚の体積は $\pi \times \text{半径}^2 \times \text{厚さ}$ 。これを積み上げる=断面の円の面積 $\pi f(x)^2$ の区分求積なんだ。面積でやったことの、まるごと立体版だね。