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三角形と多角形の角

三角形の内角の和は 180°

どんな三角形でも、33 つの内角を足すと必ず 180∘180^\circ になる。

主張

三角形の 33 つの内角 ∠A\angle A・∠B\angle B・∠C\angle C を足すと、形に関係なくいつも 180∘180^\circ になるよ。鋭角でも鈍角でも、細長くてもつぶれていても、和は 180∘180^\circ のまま。だから 22 つの角がわかれば、残り 11 つの角は引き算ですぐ求まる。図形の角の計算で、いちばん出番が多い定理だね。

∠A+∠B+∠C=180∘\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ
ABC
三角形の 33 つの内角 ∠A\angle A(赤)・∠B\angle B(緑)・∠C\angle C(紫)。足すといつも 180∘180^\circ。

成り立つ条件

平面上のふつうの三角形であること。あくまで 33 つの「内角」の和の話で、頂点の外側にできる外角は別あつかい。

証明(なぜ成り立つ?)

頂点 CC を通り、辺 ABAB に平行な補助線を引く。平行線の錯角を使って、∠A\angle A と ∠B\angle B を頂点 CC のまわりに移す。

  1. 1

    頂点 CC を通って、辺 ABAB に平行な直線を 11 本引く。これが証明のための補助線だよ。

  2. 2

    平行線では錯角が等しい。だから CC の左どなりに ∠A\angle A と等しい角、右どなりに ∠B\angle B と等しい角があらわれる。

  3. 3

    CC のまわりには、移してきた ∠A\angle A・もとからある ∠C\angle C・移してきた ∠B\angle B の 33 つが、補助線にそって一直線(平角)に並ぶ。

    ∠A+∠C+∠B=180∘\angle A+\angle C+\angle B=180^\circ
  4. 4

    だから ∠A+∠B+∠C=180∘\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ。どんな三角形でも、補助線の引き方によらず、いつも成り立つよ。

    ∠A+∠B+∠C=180∘\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ

補足・つまずきポイント

11 つの外角は、それと隣り合わない 22 つの内角の和に等しい(外角の定理)。∠A+∠B+∠C=180∘\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ と「外角 + 隣の内角 =180∘=180^\circ」から出てくる、試験でよく使う近道だよ。多角形へ広げると「内角の和 =180∘×(n−2)=180^\circ\times(n-2)」になる。

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