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三平方の定理

三平方の定理の逆

3辺が a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 をみたせば、その三角形は直角三角形。

主張

3辺の長さが aa・bb・cc(cc がいちばん長い)の三角形で、a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 が成り立つなら、その三角形は cc を斜辺とする直角三角形になるよ。三平方の定理が「直角 → 辺の関係」だったのに対し、こちらは「辺の関係 → 直角」と向きが逆。だから、角度を測らなくても、長さの計算だけで直角を見抜けるんだ。

a2+b2=c2  ⟹  c の向かいの角=90∘a^2 + b^2 = c^2 \;\Longrightarrow\; c \text{ の向かいの角} = 90^\circ
90°cba
3辺が a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 をみたす位置に来た瞬間、∠C\angle C はちょうど直角になる。

成り立つ条件

いちばん長い辺を cc に選ぶのがポイント。33・44・55 なら 32+42=523^2+4^2=5^2 なので直角三角形、22・33・44 なら 22+32=13≠16=422^2+3^2=13\ne16=4^2 なので直角にはならない。等号が成り立つかどうかだけを見ればいい。

証明(なぜ成り立つ?)

別に「2辺 aa・bb で直角をはさんだ三角形」を作り、それがもとの三角形と合同になることを示す。

  1. 1

    調べたい三角形とは別に、長さ aa・bb の2辺で直角をはさむ直角三角形をもう1つ作るよ。

  2. 2

    新しく作ったほうは直角三角形だから、三平方の定理が使える。斜辺の長さは a2+b2\sqrt{a^2+b^2} だね。

  3. 3

    ここで前提の a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 を入れると、斜辺はちょうど cc に等しくなる。つまり新しい三角形の3辺は aa・bb・cc だ。

    a2+b2=c2=c\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{c^2}=c
  4. 4

    するともとの三角形と3辺がそれぞれ等しいから、3辺相等で2つは合同だよ。

  5. 5

    合同なら対応する角も等しい。新しい三角形で aa・bb がはさむ角は直角だったので、もとの三角形でも cc の向かいの角は直角。だから直角三角形だと言えるんだ。

逆

「逆の逆」はもとの三平方の定理そのもの。直角三角形なら必ず a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 が成り立つ。両方そろって『直角 ⇔ a2+b2=c2a^2+b^2=c^2』と、行き来できる関係になっているよ。

補足・つまずきポイント

a2+b2a^2+b^2 と c2c^2 の大小で角のようすもわかる。a2+b2>c2a^2+b^2>c^2 なら cc の向かいの角は鋭角、a2+b2<c2a^2+b^2<c^2 なら鈍角。ちょうど等しいときだけ直角、という境目だと考えると覚えやすいよ(背景は余弦定理)。

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使いどころ

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