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平行線と角

平行線の同位角・錯角

平行な 22 直線に 11 本の直線が交わると、同位角は等しく、錯角も等しい。逆も成り立つ。

主張

平行な 22 直線 ℓ\ell・mm に横断線(11 本の直線)が交わるとき、同じ位置にある「同位角」は等しく、斜めに向かい合う「錯角」も等しいよ。逆もまた成り立っていて、同位角(または錯角)が等しいことがわかれば、その 22 直線は平行だと言える。「平行 ⇔\Leftrightarrow 角が等しい」をつなぐ、角の問題のかなめだね。

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同位角 ∠b\angle b も、錯角 ∠c\angle c も、∠a\angle a と同じ色=等しい。横断線をどう傾けても変わらない。

成り立つ条件

22 直線が平行であること。横断線は、その 22 直線の両方と交わる 11 本の直線。平行でない 22 直線では同位角・錯角は等しくならないので、まず平行かどうかを確かめよう。

証明(なぜ成り立つ?)

「平行線では同位角が等しい」ことを出発点(平行線の基本性質)として認め、そこから対頂角を使って錯角が等しいことを導く。

  1. 1

    平行線の基本性質より、同位角は等しい。横断線が上の交点でつくる ∠a\angle a と、下の交点で同じ位置(右上どうし)にある同位角 ∠b\angle b は等しい。

    ∠a=∠b\angle a=\angle b
  2. 2

    下の交点で ∠b\angle b と向かい合う角 ∠c\angle c は、∠b\angle b の対頂角。だから等しい。この ∠c\angle c が、∠a\angle a から見た「錯角」だよ。

    ∠b=∠c\angle b=\angle c
  3. 3

    22 つをつなぐと ∠a=∠c\angle a=\angle c。つまり錯角も等しい。同位角(基本性質)+ 対頂角、の二段で錯角が出てくるんだね。

    ∠a=∠c\angle a=\angle c

逆

逆も成り立つ。同位角が等しい、または錯角が等しいなら、その 22 直線は平行。図形の証明で「22 直線が平行であること」を示したいときの、いちばん基本の道具になるよ。

補足・つまずきポイント

同位角はアルファベットの「FF」の形、錯角は「ZZ」の形にあらわれる、と覚えると見つけやすい。横断線の片側で内側にできる 22 角(同側内角)は、和が 180∘180^\circ になるのもセットで使えるよ。

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