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正規分布

正規分布

平均 μ\mu・標準偏差 σ\sigma の正規分布 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2) は μ\mu を中心に左右対称な釣鐘形。μ±σ\mu\pm\sigma に約 68%68\%、μ±2σ\mu\pm2\sigma に約 95%95\% が入る。

主張

身長やテストの点のように、たくさんのデータが平均のまわりに「山」の形でちらばるとき、その分布を正規分布というよ。平均 μ\mu をてっぺん(中心)に左右対称で、μ\mu から遠いほど低くなる。標準偏差 σ\sigma は山の広がりで、σ\sigma が大きいと低く横長に、小さいと高く細くなる。形が変わっても曲線の下の面積(確率の合計)はいつも 11。そしていちばん大事なのが、σ\sigma がいくつでも μ±σ\mu\pm\sigma の中に約 68%68\%、μ±2σ\mu\pm2\sigma に約 95%95\%、μ±3σ\mu\pm3\sigma に約 99.7%99.7\% が入ること。広がりが変わっても「標準偏差何個ぶんの範囲に入る割合」は変わらない。だから σ\sigma をものさしにすれば、どんな正規分布も同じように読めるんだ。

f(x)=12π σ e−(x−μ)22σ2z=x−μσf(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\qquad z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}
μ−σμ+σμ約68%
平均 μ\mu を中心に左右対称な釣鐘形。σ\sigma がいくつでも、μ±σ\mu\pm\sigma(むらさきの帯)の中に約 68%68\% が入るよ。

成り立つ条件

連続的に変わる量の確率分布で、曲線の下の全面積が 11 であること。分布の形は平均 μ\mu と標準偏差 σ\sigma の 22 つだけで決まる。多くの自然現象や、たくさんの独立な要因が重なって決まる量、大きな標本の平均などが近似的に正規分布に従う(中心極限定理)。6868-9595-99.799.7 の割合は正規分布だからこそ成り立つ性質で、山の形が違う分布には使えないよ。

なぜそう決まる?

「σ\sigma がいくつでも μ±σ\mu\pm\sigma に約 68%68\%」がなぜ変わらないのかを、左右対称・面積 11・標準化の 33 つから確かめる。

  1. 1

    まず左右対称。曲線の式は μ\mu からのずれ x−μx-\mu の 22 乗だけで決まるので、μ\mu から右に dd 離れた点と左に dd 離れた点は同じ高さ。だから分布は μ\mu を軸に左右対称で、μ\mu より上/下になる確率はどちらも 12\dfrac12 だよ。

  2. 2

    次に面積 11。曲線の下の全面積は確率の合計なので、σ\sigma を変えて山が広がっても・とがっても、いつも 11 に保たれる。広がると低く、とがると高くなるのは、面積を 11 のままに保つためなんだ。

  3. 3

    ここで標準化 z=x−μσz=\dfrac{x-\mu}{\sigma} を考える。xx を「平均から標準偏差何個ぶんか」に置きかえると、μ\mu や σ\sigma がどんな値でも、分布はぴったり同じ標準正規分布 N(0,1)N(0,1) に重なる。

    x=μ±σ ⟺ z=±1x=\mu\pm\sigma\ \Longleftrightarrow\ z=\pm1
  4. 4

    μ±σ\mu\pm\sigma の範囲は、標準化するといつも −1≤z≤1-1\le z\le 1 の同じ範囲に対応する。重なった同じ分布の同じ範囲だから、その割合は μ,σ\mu,\sigma によらず一定で約 68%68\%。同じ理由で ±2σ\pm2\sigma は約 95%95\% になる。これが「広がりが変わっても割合は同じ」のしくみだよ。

補足・つまずきポイント

実際の計算では標準化 z=x−μσz=\dfrac{x-\mu}{\sigma} を使い、平均 00・標準偏差 11 の標準正規分布 N(0,1)N(0,1) に直してから正規分布表で割合を読む。zz は「平均から標準偏差何個ぶん離れているか」を表す共通のものさしで、テストの偏差値 50+10z50+10z もこれそのもの(μ+σ\mu+\sigma の点=偏差値 6060=上位約 16%16\%)。つまずきやすいのは、68%68\% などが「μ±σ\mu\pm\sigma の範囲に入る割合」であって「平均ぴったりの割合」ではないこと。また反復試行の二項分布も、nn が大きくなると正規分布で近似できるよ。

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