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二等辺三角形

二等辺三角形の底角は等しい

22 辺が等しい二等辺三角形は、底辺の両端の角(底角)が等しい。

主張

AB=ACAB=AC の二等辺三角形では、底辺 BCBC の両端の角 ∠B\angle B と ∠C\angle C が必ず等しくなるよ。「等しい辺の向かいにある角は等しい」と読むと使いやすい。逆も成り立っていて、22 つの角が等しい三角形は、それらの角に向かい合う辺が等しい二等辺三角形になる。

AB=AC  ⇒  ∠B=∠CAB=AC \;\Rightarrow\; \angle B=\angle C
BCA
AB=ACAB=AC(等長印)の二等辺三角形。底角 ∠B\angle B と ∠C\angle C(同じ色)は等しい。

成り立つ条件

AB=ACAB=AC(22 辺が等しい)であること。等しい 22 辺ではさまれた角が頂角 ∠A\angle A、その向かいの辺 BCBC が底辺、底辺の両端 ∠B\angle B・∠C\angle C が底角だよ。

証明(なぜ成り立つ?)

頂角 ∠A\angle A の二等分線で三角形を 22 つに分け、三角形の合同(SAS)から底角の一致を導く。

  1. 1

    頂角 ∠A\angle A の二等分線を引き、底辺 BCBC との交点を DD とする。△ABD\triangle ABD と △ACD\triangle ACD を比べよう。

  2. 2

    AB=ACAB=AC(仮定)、∠BAD=∠CAD\angle BAD=\angle CAD(二等分線)、ADAD は共通。22 辺とそのはさむ角が等しいから、22 つの三角形は合同(SAS)。

    △ABD≡△ACD\triangle ABD\equiv\triangle ACD
  3. 3

    合同な三角形の対応する角は等しいから、∠B=∠C\angle B=\angle C。二等辺三角形の底角は等しい、と言えたね。

    ∠B=∠C\angle B=\angle C

逆

逆も成り立つ。三角形で ∠B=∠C\angle B=\angle C なら、それに向かい合う辺が等しく AB=ACAB=AC の二等辺三角形になる。「22 角が等しい ⇒\Rightarrow 二等辺」は、辺の長さが等しいことを示す定番の道具。正三角形は 33 辺が等しいので 33 角もすべて等しく 60∘60^\circ。これも底角定理の延長だね。

補足・つまずきポイント

二等辺三角形では「頂角の二等分線・底辺の垂直二等分線・底辺の中線・頂点から底辺への垂線」の 44 本がぴったり 11 本に重なる。これが対称の軸。証明でもこの軸(頂角の二等分線)が主役になるよ。

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使いどころ

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