確率分布と期待値

期待値

確率変数 $X$ がとる値 $x_i$ とその確率 $p_i$ から、 $E(X)=\sum x_i\,p_i$ 。とりうる値を確率で重みづけした平均で、分布の「つり合いの点(重心)」だよ。

主張

確率変数 $X$ がとる値が $x_1,x_2,\dots,x_n$ で、それぞれの確率が $p_1,p_2,\dots,p_n$ のとき、 $X$ の期待値は「値 $\times$ 確率」を全部たした $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n$ で定める。これは「平均的に出る値」=何回もくり返したときの $1$ 回あたりの平均だよ。確率を「重さ」だと思うと、分布の棒がちょうどつり合う点(重心)が期待値になる。公平なサイコロなら重さが全部同じだから真ん中の $3.5$ でつり合い、 $\dfrac{1+2+\cdots+6}{6}=3.5$ と一致する。 $1$ 回ごとの結果はばらつくのに、ならすと近づく値が前もって計算できる。これが期待値の値打ちだね。

E(X)=\sum_{i} x_i\,p_i = x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n

確率の棒を「重さ」と見ると、つり合う点(赤い▲)が期待値。公平なサイコロは重さが同じだから真ん中でつり合うよ。

成り立つ条件

$X$ のとりうる値と、その確率がすべて分かっていること。確率は合計 $1$ ( $\sum p_i=1$ )でなければならない。「値 $\times$ 確率」の値は得点・金額・回数など、数で測れる量にする(色や順位など数でないものはそのままでは期待値を計算できない)。連続的に変わる量(身長など)では和を積分にした $E(X)=\int x\,f(x)\,dx$ になるよ。

なぜそう決まる?

「値 $\times$ 確率の合計」がなぜ平均を表すのか、 $2$ つの見方(長い目で見た平均・つり合いの点)で確かめる。

1
$N$ 回くり返すと、値 $x_i$ が出る回数はおよそ $N p_i$ 回。だから合計得点はおよそ $\sum x_i\,(Np_i)$ で、 $1$ 回あたりの平均はそれを $N$ でわった $\sum x_i\,p_i$ になる。これが「平均的に出る値」だよ。
$\frac{1}{N}\sum_i x_i\,(N p_i)=\sum_i x_i\,p_i$
2
もう $1$ つの見方。確率 $p_i$ を位置 $x_i$ に置いた「重り」と思うと、全体がつり合う点(重心)は重さで重みづけした平均 $\dfrac{\sum x_i p_i}{\sum p_i}$ 。確率の合計は $\sum p_i=1$ だから、これはちょうど $\sum x_i p_i=E(X)$ になる。
3
だから期待値は「分布の重心」。出やすい(重い)値の側に重心が引っぱられる。イカサマで $6$ が出やすくなると、つり合う点が右へ動いて期待値が $3.5$ より大きくなるのは、この重みづけのためだね。

補足・つまずきポイント

つまずきやすいのは、期待値が「実際にとる値」とは限らないこと。サイコロの $3.5$ のように、出ない値が答えになることもある(平均だから)。便利なのが線形性 $E(aX+b)=aE(X)+b$ と和の期待値 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ 。複雑な量も、部分に分けて期待値を足せばよい。くじやゲームが「得か損か」は、期待値と参加費をくらべて判断する(期待値=参加費なら公平なゲーム)。最頻値(いちばん出やすい値)や中央値とは別ものなので、混同しないようにね。

見て確かめる

言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。

確率分布と期待値

使いどころ

この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。

確率分布で判断する(期待値で損得・正規分布で偏差値)

期待値

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