条件付き確率と乗法定理

📐 主張

✅ 成り立つ条件

📝 なぜそう決まる?

💡 標本空間を面積 $1$ の四角と見て、条件付き確率が「絞り込んだ世界の中の割合」になる理由を確かめる。乗法定理はその式を変形しただけ。

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   全体(標本空間)を面積 $1$ の四角とみなすと、事象の確率はその面積で表せる。$P(A\cap B)$ は「$A$ と $B$ が両方起きる」タイルの面積、$P(B)$ は「$B$ が起きる」タイルの面積だね。

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   「$B$ が起きた」と分かった時点で、注目する世界は $B$ のタイルだけに縮む。その新しい全体(面積 $P(B)$)の中で $A$ も起きるのは $A\cap B$ の部分だから、割合は下の式のように面積の比になる。これが条件付き確率 $P(A\mid B)$ の意味だよ。

   $$P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
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   この式の両辺に $P(B)$ をかけると、下の乗法定理が出る。「まず $B$ が起き($P(B)$)、その上で $A$ も起きる($P(A\mid B)$)」を順にかける、という意味だね。図の「クラス $100$ 人 → 傘の世界に絞る → その中で雨の割合」がこの式そのものだよ。

   $$P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)$$

🔭 見て確かめる

言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。

• 🔭条件付き確率