等差数列の和(定理辞典)

主張

一定の差(公差 $d$ )で増えていく等差数列の、初項 $a_1$ から第 $n$ 項 $a_n$ までの和 $S_n$ は、 $\dfrac{(\text{初項}+\text{末項})\times\text{項数}}{2}$ で求められるよ。たとえば $2,5,8,11,14$ の和は $\dfrac{(2+14)\times5}{2}=40$ 。末項がまだ分からないときは $a_n=a_1+(n-1)d$ を入れて、公差と項数だけの式 $\dfrac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}$ としても同じだよ。 $1$ つずつ足さなくても、ならした平均 $\dfrac{a_1+a_n}{2}$ に個数 $n$ をかければ和が出る。これがいちばんの値打ちだね。

S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\,n}{2}=\dfrac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}

同じ階段をひっくり返して重ねると、どの列も高さ「初項+末項」でそろい長方形になる。これが和

2

組ぶん

=2S_n

だよ。

成り立つ条件

となり合う項の差がいつも同じ(公差 $d$ が一定)であること。 $n$ は項数(正の整数)で、末項は $a_n=a_1+(n-1)d$ 。「初項から末項まで $n$ 個ある」という個数の数えまちがいに気をつけよう( $a_1$ から $a_n$ までは $n$ 個)。

証明(なぜ成り立つ?)

和 $S_n$ を順番どおりに、もう $1$ つは逆順に書いて、 $2$ つを縦に足す。縦のペアがどれも「初項+末項」でそろうことを使う。

1
和を順番どおりに $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ と書き、その下に逆順 $S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1$ をならべるよ。同じ和を $2$ 通りに書いただけだね。
2
縦にペアで足すと、 $a_1+a_n$ 、 $a_2+a_{n-1}$ 、…とどのペアも値が同じ。等差数列では片方が $d$ 増えると相手は $d$ 減るから、ペアの和はいつも「初項+末項」 $=a_1+a_n$ でそろうんだ。
$a_k+a_{n+1-k}=a_1+a_n$
3
そのペアが $n$ 個ぶんできるから、ペアの和を $n$ 個集めたものが和 $2$ 組ぶん。これは「同じ階段をひっくり返して重ねると、縦 $(a_1+a_n)$ ・横 $n$ の長方形=和 $2$ 組ぶん」になることそのものだよ。
$2S_n=(a_1+a_n)\,n$
4
両辺を $2$ でわれば $S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\,n}{2}$ 。長方形は和を $2$ 組重ねたものだから、本当の和はその半分、というわけだね。

逆

和の式 $S_n=\dfrac{d}{2}n^2+\left(a_1-\dfrac{d}{2}\right)n$ は、 $n$ の $2$ 次式で「定数項が $0$ 」。逆に、和が $S_n=pn^2+qn$ (定数項なしの $n$ の $2$ 次式)の形で表せる数列は等差数列だ、と読めるよ。和の形から「等差かどうか」を見分ける手がかりになる。

補足・つまずきポイント

つまずきやすいのは公式の使い分け。末項 $a_n$ が分かっているなら $\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}$ が速い。末項が不明なら $a_n=a_1+(n-1)d$ を先に出すか、公差版 $\dfrac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}$ を使う。どちらも中身は同じだよ。 $\dfrac{a_1+a_n}{2}$ (初項と末項をならした平均) $\times\,n$ (個数)と読むと、図の「ひっくり返して長方形」とぴったり重なる。

見て確かめる

言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。

等差数列と和

使いどころ

この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。

等差数列の和

📐 主張

✅ 成り立つ条件

📝 証明(なぜ成り立つ?)

🔄 逆

💭 補足・つまずきポイント

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💡 使いどころ

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