証明: √2 は無理数(背理法)

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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   $\sqrt2$ が無理数だと直接示すのは大変。そこで背理法。「もし有理数だったら」と仮定して、おかしなことが起きるのを見せるよ。有理数なら、これ以上約分できない分数 $\sqrt2=\dfrac{m}{n}$ に書けるはず($n$ は最小)。

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   両辺を2乗すると $m^2 = 2n^2$。これは面積の言葉で読める。「1辺 $m$ の正方形の面積は、1辺 $n$ の正方形2枚ぶんの面積に等しい」。この2枚を、大きな正方形の対角の隅にそっと置いてみよう。

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   $n < m < 2n$ だから、2枚はまん中で重なり(赤)、両隅にすき間の正方形が2つできる(黄)。$n$ が半分より大きいから、はみ出して重なるんだね。

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   面積を数えよう。2枚の合計は大正方形と同じ($2n^2=m^2$)。でも2枚はまん中を二重におおい、両隅を残している。二重ぶん(重なり)が、残ったぶん(すき間2つ)とちょうど同じ。重なりの正方形 $(2n-m)^2$ = すき間2つ $2(m-n)^2$、だよ。

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   この式は「1辺 $(2n-m)$ の正方形 = 1辺 $(m-n)$ の正方形2枚」という意味。$m^2=2n^2$ とそっくり同じ形だ!しかも $2n-m$ も $m-n$ も、もとより小さい正の整数だよ。

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   同じことをくり返せば、もっと小さい組が無限に作れてしまう。でも $n$ は最小にとったはず。これは矛盾!だから $\sqrt2$ を分数で書くことはできない。$\sqrt2$ は無理数だ、と証明できたよ。