順列と組合せ

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   4人(A・B・C・D)から2人を選んで、1列に並べてみよう。まず1人目。だれが来るか、A・B・C・Dの4通りあるね。

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   次は2人目。1人目で1人使ったから、残りは3人。残った人を①②③として、どの枝からも3本ずつ開くよ。$4\times3$で枝先は12本=12通りだ。

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   1人目は4通り、2人目はその残りで3通り。かけ算して $4\times3=12$通り。これが「並べる」数え方=順列(${}_{4}\mathrm{P}_{2}$)だよ。

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   でも「2人を選ぶだけ」で順番を気にしないなら? たとえば A→B と B→A は、できる組はどちらも {A, B} で同じだよね。

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   並べ方では、同じ組を「並べ替えのぶん」だけ何回も数えてる。2人の並べ方は2通りだから、ちょうど2回ずつ。だから $12\div2=6$通りになるよ。

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   順番が大事なら並べる=順列(かけ算)、順番がいらないなら選ぶ=組合せ(順列 $\div$ 並べ替え)。同じ数え上げの、2つの見方なんだ。