位置ベクトルと内分点｜3点が一直線になる条件

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① 考えてみよう
1
点 $P$ の位置を $OP=sa+tb$ と表すよ。この $s+t$ がちょうど 1 だと何が起きると思う?
2
和 $s+t$ を 1 にすると、 $P$ はどう動く? $a$ と $b$ の比をいろいろ変えて考えてみよう。
② 考え方
3
$s+t=1$ のとき、 $A$ ・ $P$ ・ $B$ はいつも一直線! $P$ は直線 $AB$ の上を動くだけになるよ。
4
例えば $OP=(2/3)a+(1/3)b$ 。和は 1 だから $AB$ 上にあり、 $AP:PB=1:2$ になるよ。
③ 解答
5
だから $s+t=1$ なら、 $P$ は必ず直線 $AB$ の上=3点が一直線。係数の和が 1 を見たら『共線』を思い出そう。合言葉だよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

3点 $O$ 、 $A$ 、 $B$ は一直線上にないとし、 $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$ 、 $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ とする。

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}$ 、 $s + t = 1$ とすると、 $s = 1 - t$ なので $\overrightarrow{OP} = (1 - t)\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}$

よって $\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{a} = t(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$

$\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AP}$ 、 $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB}$ なので、 $\overrightarrow{AP} = t\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AP} = t\overrightarrow{AB}$ となる実数 $t$ があるので、3点 $A$ 、 $P$ 、 $B$ は一直線上にある。

答え $P$ はいつも直線 $AB$ の上にある( $A$ 、 $P$ 、 $B$ は一直線上)

減点されやすいポイント

3点が一直線上にあることは「 $\overrightarrow{AP} = t\overrightarrow{AB}$ となる実数 $t$ がある」と式で示すのが答案の型だよ。解説では矢印を省いて $a$ 、 $b$ 、 $OP$ と書いたけど、答案では $\overrightarrow{OP}$ のように矢印をつけよう。中点になるのは $s = t = \frac{1}{2}$ のときだけで、たとえば $s = \frac{2}{3}$ 、 $t = \frac{1}{3}$ なら $AP : PB = 1 : 2$ になるよ。 $s + t = 1$ は係数の和の話で、 $OP$ の長さが $1$ という意味ではないね。

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